§1.2. Решение задачи о перекрестном токе с неравномерными входными температурами.
Как показано выше, для аналитического исследования связи темпер ратурного напора перекрестного тока с профилями входных температур теплоносителей должна быть решена система уравнений (1.1)-(1.2) с
неоднородными граничными условиями (1,7).
Переходя к безразмерныму _ X КН у U. КН
координатам Л ^ и I ^ V$r ' выделим из системы
(1.1)-(1.2) уравнение для температуры одного из теплоносителей, например, горячего:
дХдУ дХ дУ U а'8)
Подставляя второе из соотношений (1.7) в (I.I), получим уравнение для отыскания второго граничного условия для $(Х,У) :
дд
1х=0 1Х=0
Решение неоднородного дифференциального уравнения (1.9) первого порядка легко получить известным методом вариации постоянных:
Slx^(o,Y) = C(Y)e'Y , где
сМ=]еЧЩ +Сс
Пользуясь условием 'Sjy^Q^'S'fX) " находим постоянную интегрирования С0 :
Итак:
tWqM+we* (i.io)
Y
где обозначено д (у) - е'УкЧ'($Щ
Теперь исходная задача (I.I), (1.2), (1.7) сведена к уравнению (1.8) с граничными условиями (1.7) и (1.10). Аналогичное уравнение и граничные условия могут быть сформулированы для температуры t(X,Y) холодного теплоносителя.
Решение будем искать методом интегрального преобразования Лапласа. Из (1.8) получим уравнение для лапласовского изображения
оо
функции i9(X,Y) :
о
Или, учитывая (1.7) и обозначая ^Ж) = ^(х) :
дд . s &(х)+д'(х) (I.ID
дХ $Н S+1
Кроме того, преобразуя по Лапласу (1.10), получим граничное условие для изображения
Решая уравнение (I.II) методом вариации постоянных относительно ^(X.S) , получим:
= c(x,s)e'SH
где = l^f+ftW
0
С помощью (I,12) находим
Таким образом:
Зная вид изображения i9(X,s) > определим его оригинал, т.е.
искомую температуру <$(Х,У) горячего теплоносителя.
Введем обозначения: Ту __ S'{0)n--Bf. м
Будем искать оригиналы jJ, У2 , У3 лапласовских изображений
^ > > ^з' ~ г \
Обращение . Запишем согласно /49/: "у г- J0 (2чХУ)
В силу свойств преобразования Лапласа
у
Следовательно: = 6^10(2Ш)
P's+I gbi QsHn-x
В нашем случае: "^77" S + У ~~ S+f (I.I4)
Отсюда получаем: ^ = ^ ^ ^ ?-' -
Обращение У3 .
Запишем в виде:_ х
Применяя основную формулу обратного преобразования Лапласа, за-
пишем:
i+loo X 0 6-ioo
Пользуясь снова соотношением (I.I4), находим:
Обращение o Заметим, что $х ж
SX р- s+{ р S+I Р~ SH - С Ь Л- к
с S+i
Обозначим Р(Х, Y) = в~Х~У10ШУ]
Согласно (I.I4): .
P(X,Y) = f;j =P(X,S) (i .is)
Но тогда, по правилу дифференцирования оригиналов:
2P№^sP-RlY"=s<0-e-* иле)
Согласно /49/: i = SYY)
- дельта-функция Дирака.
То есть 6~*== 6yS(Y). Пользуясь (I.I6), получим:
Ж
Из (I.I5), (I.I7) следует: sx ал "
Используя правила дифференцирования цилиндрических функций, най-
е"-=е-хт)
Применяя найденное соотношение, получим в итоге: jx у У
= Uztffi-у (у- +Se-*&(r- ?)дЩ = (гщ)?ег(ит^+е-хр) =
+e**Ie"t'(u)du = }е'х'%(2Щ)-П ч-ц)щ
- 22 -
Итак: ^ = Je-x-4o Щ^.уЩ
Получается следующая форлула, являющаяся решением задачи о перекрестном токе с неравномерными входными температурами обеих сред:
Mm)+7г =те-у~%Ш)++
х 0 (Т ТРО
Применяя к последнему члену в формуле (I.I8) интегрирование по частям, можно представить решение также в виде:
Аналогично выглядит формула для температуры холодного теплоносителя: х
t(x,y) = Г(Юе~х+1е-у-110(щШх-рс/$ +
Рассмотрим теперь частные случаи полученного решения. Если один из теплоносителей, например, горячий, имеет на входе однородное поле температур, то есть $'(X)sconst , то из (1.18) ,(1.20) следует:
Форлула (I.2I) может быть приведена к более простому и удобному для дальнейших выкладок виду. Введем обозначение:
з=е-*-%№)+]е*%(ЩЩ
Докажем, что 0=1. Прежде всего видно, что Далее задаем, Что
- 1е-ч%(2Щ Ле'Щфщщ+е*%ш)
Первый и последний члены в полученном выражении сокращаются. Третий член интегрируем по частям:
Неопределенный интеграл в квадратных скобках преобразуем, используя разложение функции Бесселя в ряд Тэйлора:
Подставляя этот результат в (1.23), а затем в выражение для Щ- ,
oY
увидим, что все члены в этом выражении сокращаются.
Таким образом o Аналогично доказывается, что ЩQ = 0 .
Следовательно, в самом деле ?9 = const - {.
В силу этого тождества(1.24)
Поэтому формулу 11.21) можно переписать в виде:
Дальше можно рассмотреть еще более простой случай, соответствующий задаче Нуссельта: оба теплоносителя имеют на входе равномерные профили температур. В формуле (1.24) температуры выйдут из-под знака интеграла:
0<_ 9/у у)
Видим, что при введении безразмерной температуры 6Г = 0, ?-
тУ- Т
полученная формула полностью совпадает с формулой (1.5) Нуссель- та-Мэйсона.
Выведенные в данном параграфе ранее неизвестные соотношения (1.18)-(1.20), а также их частные случаи (1.22), (1.24) позволяют создать аналитические методики расчета температурного напора для различных типов перекрестноточных теплообменников: с Си Z-перекрестом, общим прямотоком и противотоком теплоносителей, наличием или отсутствием межходового перемешивания теплоносителей, и с другими особенностями. Некоторые из этих методик, имеющие наибольшее значение для расчета и анализа работы ТВП, описаны в следующей главе.