Свойства экспоненциальной функции
Лемма
Если аналитическая функция удовлетворяет уравнению при условии , то для нее справедливо соотношение .
Доказательство
Непосредственной проверкой устанавливаем, что это равенство выполняется при . Так как функция - аналитическая, то левую и правую части равенства можно разложить в степенные ряды по переменным в окрестности точки . Условием выполнения доказываемого соотношения при произвольных значениях будет равенство всех соответствующих коэффициентов рядов. Но так как эти коэффициенты выражаются через частные производные от левой и правой частей при , приходим к равенству
при
Докажем справедливость этого равенства. Найдем частные производные по и для левой и правой частей
Аналогично
Далее
Таким образом, частные производные от левой части совпадают с самой функцией. То же самое справедливо и для правой части, что доказывает лемму.
Теорема
Для экспоненциальной функции справедлива формула .
Доказательство
Экспоненциальная функция удовлетворяет условиям леммы:
откуда следует утверждение теоремы.
Следствие
Пусть , тогда