Ряды функций комплексного переменного
Опр.
1. Ряд 
называется равномерно сходящимся в области Q, если:
, 
, 
2.
Если N зависит от z, то сходимость неравномерная.Теорема. Если 
непрерывны на дуге L, ряд равномерно сходится на дуге L, 
, то 
.(ряд можно почленно интегрировать)
Теорема Вейерштрасса.
Если G- связная область, -аналитические в G,
- ряд, равномерно сходящийся к 
в G, то
1) f(z) аналитическая в G,
2) 
замкнутой области 
ряд из производных сходится равномерно к производной:
.
Док-во:
1) Возьмем произвольную точку z 
G и окружим ее контуром Г
,
Тогда:
;
;
; 
;
;
;
;
перейдя к пределу, получим:
, таким образом f(z) аналитическая функция.
2) Возьмем контур 
, такой что 
внутри 
.
Г
z .
Рассуждая также, как при доказательстве 1), получаем при n>N, z внутри .
внутри .
Тоже самое можно сделать для точки, принадлежащей замкнутой области 
(покрыть ее окружностью, внутри которой сходимость ряда равномерна). Таким образом, область покрыта окружностями . Т.к. замкнутая область 
- компакт, следовательно можно выделить конечное подпокрытие: 
.
, таким образом доказана равномерная сходимость ряда производных в .
Следствие. Если выполнены условия теоремы Веерштрасса, то 
.
Теорема Абеля. Если 
, то если 
: 
-ряд сходится, 
-ряд расходится; 
-ряд сходится равномерно.
Утв. Если 
, то 
аналитическая в круге радиуса R.
Док-во:
В силу теоремы Веерштрасса аналитическая в кольце 
, но т.к. r выбирается произвольно, то аналитическая в круге.