24. Ряд Тейлора

Теорема22: пусть -- аналитична в круге

Тогда в этом круге наша функция раскладывается в степенной ряд, причём это разложение единственно

Про границу круга ничего не известно.

-- аналитична внутри Г и на Г, поэтому по интегральной формуле Коши имеем:

, и пусть , тогда

Тогда

Этот ряд равномерно сходится на : -- этот ряд сходится как геометрическая прогрессия с . Тогда по признаку Вейерштрасса, наш ряд павномерно сходится на

Итак,

Получим разложение по степеням, при этом

Полученный ряд будет рядом Тейлора, поскольку коэффициенты считаются по такой формуле

Единственность доказывается элементарно

Теорема23 (неравенство Коши): пусть -- аналитична в круге .

Доказательство:

Тогда