Решение линейного дифференциального уравнения n-ного порядка с постоянными коэффициентами

Пусть дано дифференциальное уравнение n-ного порядка с постоянными коэффициентами . И пусть известны начальные условия.

Применим преобразование Лапласа:

Y(p) – изображение функции y. Получим

По этому изображению находится оригинал так, как описано выше.

Можно не искать изображение функции F(p), а получить решение с использованием формулы Дюамеля.

Введём новую переменную u, причём

и т. д.

Вместо y подставим в уравнение u:

Слагаемые, не содержащие u, переносим в правую часть:

Получили такое уравнение:

Чтобы получить решение с помощью формулы Дюамеля, рассмотрим уравнение

- здесь х удовлетворяет нулевым начальным условиям.

Найдём изображение правой части:

По изображению Х можно построить оригинал, используя теорему вычетов.

Функция f(t) известна. Тогда

Используя формулу Дюамеля, получим решение:

.