Лекция 15 Операционное исчисление
Пусть дано обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (все величины – действительные)
Обозначим 
- оператор дифференцирования, и получим:
- алгебраическое уравнение.
Методы, в которых для решения задач используются алгебраические действия с операторами, носят название операционных. Ниже рассматривается наиболее распространенный операционный метод, основанный на преобразовании Лапласа.
- преобразование Лапласа.
где p – комплексный параметр.
Условия, которым должна удовлетворять функция 
:
1) условие Гельдера 
;
2) 
3) 
Функция называется оригиналом, а функция комплексной переменной 
- изображением.
Теорема
Оригинал определяется по известному изображению формулой
Доказательство[6]
Отметим, что интеграл в правой части равенства - сингулярный.
Рассмотрим вычисление сингулярного интеграла
Выражение для I преобразуется к виду
так как функция 
равна нулю при отрицательных значениях аргумента. Для дальнейшего рассмотрим функцию
Запишем выражение:
При 
величина s остается конечной.
где 
Запись t+0 означает, что аргумент функции 
, оставаясь всё время >t.
Интеграл преобразуется к виду
При любом конечном 
Вычислим интеграл[7]
Введем вспомогательную функцию
и найдем контурный интеграл
Делая замену переменных 
, получим:
Так как подынтегральная функция – четная, то
Получим
что требовалось доказать.