ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ РОСТА БЕРТАЛАНФИ ПРИ ОТСУТСТВИИ РЕГУЛЯРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Е.Б. Мельникова

Институт биологии южных морей НАН Украины, г. Севастополь e-mail: vfjuck@mail.ru

Количественным показателем развития рыб является их рост. Поэтому математическая оценка количественных параметров роста в естественных условиях имеет первостепенное значение при изуче­нии динамики рыбных ресурсов и разработке мероприятий по их рациональному использованию.

Для количественной оценки параметров роста рыб чаще всего используют уравнение линей­ного роста Берталанфи (Bertalanffy L., 1964; РикерУ., 1979):

где l(t) - длина рыбы в момент времени t;

L - средняя предельная длины рыбы исследуемой популяции;

K - константа, характеризующая скорость изменения длины;

t0 - константа, указывающая момент времени, в который длины рыбы в принятой модели рос­та (1) была равна нулю;

(t - t0) - время, прошедшее от рождения рыбы (возраст рыбы).

Уравнение (1) позволяет для заданного возраста рыбы определить ее длину или прирост дли­ны за фиксированный отрезок времени (год, сезон и т.д.), оно используется для нахождения инди­видуального и популяционного роста особей промыслового стада, расчете продукционных характе­ристик и т.д.

В уравнении (1) содержится три неизвестных коэффициента L, K и t0, которые должны быть определены на основе экспериментальных измерений. Существуют разные методы нахождения этих коэффициентов (Hohendorf K.; 1966, Рикер У.Е., 1979; Барыбина А.И., 1978 и др.). Однако не­достатком всех этих методов является то, что для определения неизвестных коэффициентов длина рыбы должна быть известна через равные интервалы времени. Если интервалы времени, для кото­рых определена длина, не являются постоянными (то есть отсутствуют регулярные измерения), то для этих случаев известные методы не применимы.

Целью данной работы является разработка методики определения коэффициентов уравнения линейного роста Берталанфи на основе экспериментальных измерений длины, проведенных через неравные интервалы времени.

Если продифференцировать уравнение (1) и провести несложные преобразования, то можно получить следующее выражени

- скорость роста рыбы.

Из уравнения (1) видно, что скорость роста зависит от длины рыбы. Анализ показывает, что выражение (2) является уравнением линейной функции в декартовой системе координат, по оси абсцисс которой откладывают длину рыбы l(t) в некоторый момент времени t, а по оси ординат ско-

I

рость роста рыбы в этот момент. В момент времени tk, когда длина рыбы достигнет пре­дельной длин скорость ее роста становится равной нулю. И н нт времени

t0, когда длина рыбы равна нулю, скорость ее роста максимальна и равна Это можно

использовать для нахождения неизвестных коэффициентов уравнения Берталанфи.

На рис. 1 изображены и отмечены кружками значения скорости роста рыбы в зависимости от

длины, найденные на основе измерений длины в некоторые моменты времени t. В соответствии с выражением (2) значения скорости роста, могут быть аппроксимированы прямой линией, проходя­щей через эти точки. Аналитическое выражение этой прямой, позволяет найти неизвестные коэф­фициенты уравнений (2) и (1).

Рис. 1. Зависимость скорости роста рыбы от длины

1 - Значения скорости роста, найденные на основе измерений длины и возраста; 2 - Линейная зависимость в соответст­вии с уравнением (2)

В соответствии с изложенным выше, определение коэффициентов уравнения роста Берталан- фи можно проводить в следующей последовательности.

1).

2). Затем для нескольких последовательных пар значений изменения возраста находят сред­нею длину пиби на /-пм интервале изменения возраста

б). Находим коэффициент t0 как среднее всех значений, рассчитанных по формуле (4).

Таким обпазом, ппедлагаемая методика позволяет достаточно ппосто пассчитать коэффициен- ти упавнения поста Бепталанфи по измепенним значениям длини пиби и ее возпасте. Достоинст­вом методики является то, что измепения длини не обязательно должни ппоизводиться чепез пав- ние интепвали впемени.

Литература

Барыбина А. И., 1978. Некоторые способы определения параметров уравнений роста Берталанфи // Применение математических способов оценки состояния промысловых объектов мирового океана: Тр. ВНИРО. Т. CXXVIII. С. 67 - 71.

Рикер У. Е., 1979. Методы оценки и интерпретации биологических показателей популяций рыб. М.: Пищ. пром-сть. 408 с.

Bertalanffy L., 1964. Basic concepts in quantitative biology of metabolism // Helgolander Wissenschaftliche Meeresuntersuchungen. V. 9. № 1 - 4. P. 5 - 37.

Hohendorf K., 1966. Eine Diskussion der Bertalanffy - Funktionen und ihre Anwendung zur Charakterisierung des Wachstums von Fischen // Kieler Meeresforshungen. V. XXII. № 1. P. 70 - 97.

DEFINITION OF COEFFICIENTS OF THE BERTALANFFY GROWTH EQUATION WHEN REGULAR MEASUREMENTS ARE LACKING

E.B. Melnikova

Institute of biology of the southern seas of NAS of Ukraine, Sevastopol, Ukraine e-mail: vfjuck@mail.ru

Transformation of Bertalanffy linear growth equation has been conducted and dependence of fish growth rate on its length has been found. On the base of the expression obtain ell and also experimental measurement of length and age of fish, the method of calculation of coefficients of the Bertalanffy growth equation is has been developed. The amount of measurements must be no less than three. With increase of amount of measurements due to the statistical data processing the error of definition of coefficients of growth equation diminishes. Fish length measurements can be carried out in unequal time intervals and this is an advantage of the methodic developed. It allows to find the parameters of individual and population grows of the food fish shoal when regular measurements are lacking.