Формула Ньютона-Лейбница

Если - первообразная непрерывной функции на , то:.

Док-во: Рассмотрим тождество

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа

. Получим т.е. , где есть нек-рая точка интервала. Т.к. функция y=f(x) непрерывна на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [a;b].

Переходя к пределу при , получаем F(b)-F(a)=

=, т.е. .