8.5.1 Полный факторный эксперимент

В полном факторном эксперименте (ПФЭ) для каждого фактора выбирается определённое число уровней и затем осуществляются все возможные их комбинации. В факторных экспериментах варьируют одновременно всеми переменными.

, (8.12)

где - число опытов; - число факторов; п - число уровней каждого фактора.

Все возможные комбинации варьирования двух факторов на двух уровнях будут исчерпаны при постановке четырёх опытов (), а трёх факторов на двух уровнях - при постановке восьми опытов (). Геометрическая интерпретация ПФЭ показана на рис. 8.5.

План экспериментов формально представляется матрицей, где каждая строка соответствует одному опыту и определяет его условия. При реализации матрицы каждый фактор может принимать только два значения - «верхнее» и «нижнее». Знаки «+1» или «–1» обозначают, на каком уровне находятся значения факторов («+1» - на верхнем уровне, «–1» - на нижнем уровне).

При заполнении матрицы руководствуются правилом: частота смены знака (уровня) каждого следующего фактора вдвое меньше предыдущего. Если в матрице перебраны все возможные комбинации значений факторов, то матрица представляет полный факторный эксперимент «ПФЭ».

Матрица полного факторного эксперимента при трёх факторах приведена в табл. 8.1. Число строк матрицы - N = 2³ = 8. В матрице условно не показаны «1», но они там незримо присутствуют.

Перед экспериментом (реализацией матрицы планирования) задаются основными уровнями факторов (в натуральных единицах: %, г/л, кг/т и т.д.) и интервалами варьирования для каждого фактора. Основной уровень обозначают: X_oi, интервал варьирования - Δх. Кодовое обозначение основного, верхнего и нижнего уровней соответственно «0», «+1» и «-1».

Тогда для матрицы (табл. 8.1) условия проведения первого, второго и третьего опытов (значения факторов):

Х₁ = Х_о1 – l₁ Х₂ = Х_о2 – l₂ Х₃ = Х_о3 – l₃

Х₁ = Х_о1 + l₁ Х₂ = Х_о2 – l₂ Х₃ = Х_о3 – l₃

Х₁ = Х_о1 – l₁ Х₂ = Х_о2 + l₂ Х₃ = Х_о3 – l₃ и т.д.

Таблица 8.1 - Полный факторный эксперимент для трёх независимых переменных (планирование типа 2³)

Полный факторный эксперимент для трёх факторов позволяет раздельно оценить основные эффекты А, В, С, эффекты взаимодействия первого порядка АВ, АС, ВС и эффект взаимодействия второго порядка АВС.

Выбор нулевой точки (центра эксперимента) соответствует оптимальным значениям факторов на основе априорной информации, опыта экспериментатора и результатов обогащения аналогичных полезных ископаемых. При выборе интервала варьирования Δх руководствуются следующим:

- все значения факторов в матрице должны быть реализованы, то есть должны находиться в области существования этих факторов;

- величина интервала от «+1» до «-1» должна существенно превышать ошибку фиксирования данного фактора;

- интервал варьирования данного фактора должен обеспечивать влияние на выходные параметры процесса.

При постановке эксперимента опыты следует рандомизировать. Рандомизация заключается в случайном выборе очер ёдности постановки опытов. Для случайного выбора номеров опытов можно использовать таблицу случайных чисел или лотерею. Рандомизацию применяют для исключения возможной систематической ошибки опытов и придания её случайного характера.

Функцию отклика моделируется полиномом первого порядка с учётом парных взаимодействий факторов:

Благодаря ортогональности планов ПФЭ, их симметричности коэффициенты уравнения регрессии определяются по формулам:

; (8.13)

; ; (8.14)

; ; (8.15)

; , (8.16)

где - элементы матрицы планирования (+1 или -1), в которой ij - номер фактора, а u - номер опыта.

Различные знаки при коэффициентах свидетельствуют о том, что влияние одного коэффициента слабеет при росте другого. Если коэффициенты имеют один знак, то совместное изменение факторов оказывает большее влияние на функцию отклика, чем индивидуальное изменение каждого фактора.

Гипотезу об однородности выборочных дисперсий воспроизводимости проверяют по критерию Кохрена со степенями свободы f₁ = т - 1 (m - число опытных данных в каждой серии опытов), f₂ = N и степени риска α:

при (8.17)

гипотеза об однородности не отвергается.

Рассчитывается оценка дисперсии воспроизводимости со степенью свободы f = f₁ ? f₂:

. (8.18)

В случае непринятия гипотезы об однородности оценки дисперсий воспроизводимости можно увеличить число параллельных опытов для вариантов варьирования с большими значениями выборочных дисперсий или признать невоспроизводимость эксперимента. Для выявления источников неоднородности применяют методы дисперсионного анализа.

Значимость коэффициентов регрессии проверяют с помощью критерия Стьюдента. Коэффициент значим, если:

. (8.19)

Возможны такие причины незначимости коэффициента регрессии:

- интервал варьирования фактора близок к оптимуму;

- интервал варьирования узкий; чем меньше интервал варьирования, тем вероятнее, что даже фактор с сильным влиянием не обнаружит себя как существенный;

- параметр оптимизации процесса не зависит от варьирования фактора.

Если имеет место первая или третья причина, значение фактора стабилизируется на определённом уровне; во втором случае увеличивают интервал варьирования.

После исключения незначимых коэффициентов проверяют адекватность модели - выясняют соотношение между дисперсией адекватности и дисперсией воспроизводимости опытных данных .

, (8.20)

где m - число параллельных опытов; d - число оцениваемых параметров в уравнении регрессии. Дисперсия адекватности оценивается с степенями свободы.

Если не превышает погрешности эксперимента, оценке которой является , то считается, что модель адекватна, а если , то модель нельзя считать пригодной. Адекватность проверяется по критерию Фишера с уровнем значимости 1 - α и степенями свободы и :

если отношение: , (8.21)

модель признается адекватной. В случае непринятия гипотезы об адекватности модели переходить к рассмотрению более сложной модели не следует, целесообразнее, если это возможно, провести эксперимент с меньшим интервалом варьирования факторов.

Использование полного факторного эксперимента не всегда целесообразно, так как с одной стороны необходимо большое число опытов, с другой стороны на первом этапе исследования не требуется высокая точность уравнений аппроксимирующей поверхности. Поэтому чаще используют дробный факторный эксперимент (ДФЭ).

Пример 8.1. На обогатительной фабрике были проведены исследования процесса фильтрования магнетитового концентрата. Изучали влияние содержания твёрдого в пульпе (Х₁ = 30-60%), величины разряжения (Х₂ = 0,03-0,09 МПа) и частоты вращения дисков (Х₃ = 0,2-0,5 мин^-1) на удельную производительность вакуум-фильтра (Y, т/ч? м²).

Для планирования эксперимента был использован ПФЭ типа 2³, который позволил оценить все линейные эффекты и все их взаимодействия. Матрица планирования и результаты экспериментов приведены в табл. 8.2.

Функцию отклика моделируется полиномом первого порядка с учётом парных взаимодействий факторов:

Коэффициенты уравнения регрессии определяются по формулам:

; ;

; ; ; ;

; ;; ;

; .

Уравнение регрессии принимает вид:

Проводится проверка гипотезы об однородности выборочных дисперсий воспроизводимости.

Критерий Кохрена G_табл. со степенями свободы: f₁ = т - 1 = 6 - 1 = 5, f₂ = N = 8 и степенью риска α = 0,05: G_табл. = 0,4387

при

гипотеза об однородности не отвергается.

Рассчитывается оценка дисперсии воспроизводимости со степенью свободы f = f₁ ? f₂ = 5 ? 8 = 40:

Значимость коэффициентов регрессии проверяют с помощью критерия Стьюдента. Коэффициент значим, если .

.

При α = 0,05 и f = N(m-1) = 40 t = 2,0211.

.

Таблица 8.2 - Матрица планирования и результаты эксперимента

Интервал варьирования. № опыта	Уровни факторов			Взаимодействия факторов				Опытные данные		Расчет
	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Основной уровень хі = 0 Интервал варьирования Δх Верхний уровень хі = + 1 Нижний уровень хі = – 1	45 15 60 30	0,06 0,03 0,09 0,03	0,4 0,2 0,6 0,2
№ опыта: 1 2 3 4 5 6 7 8	+ – + – + – + –	+ + – – + + – –	+ + + + – – – –	+ – – + + – – +	+ – + – – + – +	+ + – – – – + +	+ – – + – + + –	1,01 1,20 0,90 1,01 1,43 1,71 1,10 1,31	2,2 5,5 7,4 9,1 18,6 3,2 0,9 10,1	1,01 1,21 0,85 1,05 1,47 1,67 1,11 1,30

Примечание. В столбце 9 приведены средние значения функции отклика (удельная производительность вакуум-фильтра, т/ч?м²); в столбце 10 - дисперсия воспроизводимости опытных данных в каждой серии опытов (т = 6); в столбце 11 - результаты расчёта удельной производительности фильтра по полученным уравнениям.

Таким образом, коэффициенты b₁₂, b₁₃ и b₁₂₃ принимаются незначимыми и уравнение регрессии принимает вид:

Проверка адекватности модели:

.

Адекватность проверяется по критерию Фишера. При уровне значимости 1 - α = 95% и степенях свободы = 3 и = 40 критерий Фишера F_кр = 2,84.

Отношение:,

Модель признается адекватной.