6.2.4 Математическое моделирование технологических процессов

В промышленной практике универсальным и общим является стремление к максимально возможному приближению к поставленной цели наиболее быстрым способом и с наименьшими затратами.

Практика показывает, что большие затруднения вызывает даже однозначная формулировка цели в количественном выражении, так называемая целевая функция или критерий эффективности.

Оптимальное управление процессом может рассматриваться как принятие определённых решений, соответствующих изменениям ситуации. Принятие решения связано с выбором из множества всевозможных допустимых обстоятельств некоторого одного определённого решения. Чем больше вариантов, тем больше информации необходимо для их разграничения и тем более громоздким будет описание всей задачи.

В процессе принятия решения оперируют функцией, аргументами которой являются допустимые варианты решения, а значениями - числа, описывающие меру достижения поставленной цели. Задача принятия решения тем самым сводится к нахождению максимального (или минимального) значения целевой функции, а также значений аргументов, при которых этот максимум достигается. Для отыскания оптимального решения в подобной ситуации одним из наиболее эффективных методов является математическое моделирование.

Теоретическое исследование физической системы начинается с изучения общих законов, которые отражают опыт, накопленный для других аналогичных систем. Используются уравнения кинетики химических реакций, энергетического и материального баланса, которые вытекают из общих законов сохранения массы и энергии, и особенно закон больших чисел или больших масс.

Многие технологические процессы трудно удовлетворительно описать теоретическими моделями, основанными на принципах физических явлений массопереноса или балансовых уравнений из-за сложности протекания этих процессов и ещё недостаточно чёткого их понимания. В этом случае для практических целей можно применить эмпирический способ построения моделей. Они составляются на основе методологической концепции «чёрного ящика» и выходят из возможности описание механизма протекания процессов на основе входных и выходных переменных параметров без проникновения в сущность изучаемого процесса.

Математические модели бывают статические «» и кинетические или динамические «», которые прямо или косвенно учитывают время исследуемого процесса. Полученная любым способом модель чаще всего справедлива только в определённом диапазоне изменений фактора х, которой нужно указывать рядом с погрешностью при записи модели.

Рассмотрим закономерности разделения минералов в наиболее распространённых процессах.

Фракционный состав минерального сырья.

Минеральное сырье и продукты обогащения отличаются тем, что любое физическое свойство смеси частиц непрерывно изменяется в середине определённого диапазона [] из-за содержания в ней сростков с переменными свойствами (символом обозначена любая физическое свойство).

Узкая или конечная фракция [] - это частицы из какого-либо диапазона []. Её представляют только те частицы смеси, для которых физическое свойство находится между границами фракции или . Размер (ширина) фракции есть .

В частных случаях гравитационного, магнитного, флотационного, электрического, радиометрического обогащения получают такие фракции: плотности [] магнитной восприимчивости [] флотируемости [], удельной электропроводности [], удельного заряда [], светимости [].

Бесконечно узкую или элементарную фракцию получают, если размер конечной фракции стремится к нулю .

Диапазон [] может быть разделён на конечные фракции с различным шагом , равномерным или неравномерным.

Массовая доля (выход) і-й фракции [] является отношением массы её частиц к массе частиц всех фракций.

. (6.1)

Очевидно, что условием нормирования будет:

. (6.2)

Выражение в формуле (6.1) разделяет выход на два сомножителя, из которых один является размером фракции , а второй - дифференциальной функцией распределения частиц смеси с физическим свойством . Дифференциальная функция распределения - это такая функция, для которой произведение равно массовой доле элементарной фракции [] в смеси. Дифференциальную функцию распределения можно определить как отношение доли элементарной функции [] к её размеру . Размерность для является всегда обратной размерности соответствующего физического свойства : , например, м³/т при т/м³.

Функция учитывает физические свойства частиц. Её вводом заканчивается первая часть количественной характеристики фракционного состава минеральных материалов.

Вторая часть должна учитывать содержание ценных компонентов (или вредных примесей) в частицах. Для этого нужно знать среднее содержание компонента в каждой i-й фракции [], то есть знать набор цифр . При уменьшении размера фракций (и соответствующем увеличении их числа ) в диапазоне [] этот набор цифр заменяет непрерывную функцию .

Полученная зависимость содержания компонента от физического свойства частиц является второй после и последней характеристикой фракционного состава сырья.

Типичный метод экспериментального определения выходов фракций и содержаний в них ценных компонентов, а также функций и сводится к следующему.

В общем случае сложного сырья, если частицы его различаются несколькими (n) физическими свойствами () и содержат несколько (m) ценных компонентов, фракционный состав характеризуется набором п-мерных функций: , , (где j - название или номер ценного компонента).

Общие сведения о сепарационных характеристиках технологических процессов обогащения. Извлечение конечной фракции [] или [] в концентрат отдельной операции или схемы обогащения равно отношению масс твёрдого этой фракции в концентрате и в питании :

, (6.3)

где и - производительность по твёрдому, соответственно для концентрата и питания, т/ч.

В числителе формулы (6.3) произведение и выхода фракции даёт производительность этой фракции для концентрата, а в знаменателе для питания. Здесь характеризует распределение твёрдого по фракциям в концентрате, а - в питании.

При , получают непрерывную функцию - сепарационную характеристику:

, (6.4)

где - выход концентрата, доли ед.

Сепарационная характеристика операции или схемы является непрерывная функция , показывающая извлечение элементарных фракций в концентрат в зависимости от их физического свойства . Сепарационную характеристику также называют разделительной функцией, главной технологической характеристикой сепаратора (или схемы), кривой извлечения фракций в концентрат и др.

Сепарационную характеристику для отходов получают с использованием по формуле:

. (6.5)

Таким образом, для двухпродуктовых схем и сепараторов достаточно знать только одну из характеристик или .

Баланс по любой элементарной фракции для двухпродуктовой операции (или схемы в целом):

; (6.6)

, (6.7)

где ;; - производительность по узкой фракции , соответственно, для концентрата, отходов и питания.

Идеальная сепарационная характеристика имеет ступенчатый вид (рис. 6.3):

(6.8)

Здесь для краткости применён символ единичной ступенчатой функции , где константа указывает точку, в которой происходит скачок на единицу.

Неидеальные сепарационные характеристики. Здесь возможны различные кривые в зависимости от типа сепаратора или схемы. Реальные сепараторы, как правило, имеют неидеальные сепарационные характеристики.

Граница разделения соответствует элементарной фракции, которая наполовину извлекается в концентрат, наполовину в отходы. Координата границы при известном может быть рассчитана по формуле:

. (6.9)

Во всех сепараторах и схемах обогащения предусмотрена возможность изменения положения границы разделения в желаемом направлении.

Крутизна сепарационной характеристики в рабочей точке, соответствующей границы раздела , является одной из оценок степени несовершенства сепарации для операции или схемы: чем больше крутизна, тем ближе сепарационная характеристика к идеальной. Совершенствование сепаратора или схемы - это, в первую очередь, повышение крутизны в рабочей точке.

Два параметра: граница разделения и крутизна в рабочей зоне являются главными параметрами сепарационной характеристики . По этим параметрам можно приблизительно оценить функцию и нарисовать её график. Типичный метод экспериментального определения сепарационной характеристики основан на использовании формулы (6.4):

- для работающего сепаратора или схемы измеряют производительности и для расчёта ;

- отбирают пробы питания и концентрата и выполняют их фракционный анализ для определения функций распределения и;

- производят расчёт сепарационной характеристики по формуле (6.4).

Для случая идеального обогащения (сепарационная характеристика имеет вид ступенчатого импульса) технологические показатели можно рассчитать, если фракционный состав сырья известен:

; (6.10)

(6.11)

При неидеальной сепарации в отдельном аппарате или по схеме обогащения в формулы прогноза технологических показателей вводят дополнительную сепарационную характеристику:

; (6.12)

(6.13)

Сепарационные характеристики основных обогатительных аппаратов приведены в табл. 6.1.

Рассмотрим подробнее гравитационное обогащение.

Для одномерной модели отсадочной машины с естественной постелью совокупные уравнения имеют вид:

; (6.14)

, (6.15)

где α и k - коэффициенты.

Исключением скорости получено уравнение сепарации с одной неизвестной функцией (рис. 6.4):

, (6.16)

где

; (6.17)

D - коэффициент микродиффузии, м²/с; t = y/V_тр - время сепарации, соответствует продвижению материала от загрузки до разгрузки, с.

Средняя плотность среды (постели) изменяется по пространству x и для нестационарных режимов со временем t.

Для нахождения сепарационной характеристики предварительно по уравнению (6.18) определяют фракционный состав материала в зоне разгрузки концентрата и отходов при .

Для стационарного режима в зоне разгрузки , уравнение (6.17) упрощается и его решение имеет вид:

. (6.18)

Таким образом, материал, который предельно расслоился, в конце зоны имеет фракционный состав , который меняется с глубиной постели согласно статического распределения Гиббса.

Общее решение уравнения (6.18) превращается в конкретное частное с учётом начальных условий, которые зависят от фракционного состава исходного питания

Для нахождения произвольной через заданную функцию нужно воспользоваться интегральным законом сохранения и по известным и рассчитать сепарационную характеристику по формуле:

, (6.19)

где ; - координата положения отсекателя концентрата и отходов.

Средний фракционный состав концентрата получают усреднением:

. (6.20)

Таблица 6.1 - Сепарационные характеристики обогатительных аппаратов

Аппарат и его режим	Сепарационная характеристика	Граница разделения	Крутизна характеристики в точке разделения
1	2	3	4
Отсадочная машина с природной постелью, суспензионный сепаратор с большим стеснением
Отсадочная машина с искусственной постелью, суспензионный сепаратор с умеренным стеснением
Грохот
Гидроклассификатор с восходящим потоком при стеснённых условиях	для		∞
Гидроклассификатор при стеснённых условиях	, где
Окончание табл. 6.1
1	2	3		4
Гидроциклон	, где
Роликовый (барабанный) магнитный сепаратор при стеснённых условиях	для зоны			∞
Ленточный магнитный сепаратор	, где			при
Флотационная машина	(S=500 – 1200 м2/м3)
Электрический сепаратор при стеснённых условиях
Примечание. Qисх, М - производительность и масса материала на грохоте; Vc (d) - зависимость скорости просеивания на сетке грохота от размера частиц; h - глубина зоны сепарации; Vcp - скорость восходящего потока в гидроклассификаторе; Vo, R - окружная скорость и радиус кривизны для гидроциклона; Н, Е - напряжённость магнитного и электрического полей.

С использованием формул (6.19) - (6.20) для получают приближённую формулу сепарационной характеристики (концентрат - лёгкий продукт):

, (6.21)

где - интеграл вероятности; - толщина постели.

Полученное выражение для не является в точности законом вероятности, потому что под знаком Ф стоит функция при равномерном распределении по фракциям в питании. То есть, при для получают нормальный закон (при условии, что находится в середине постели).

Обобщающая компактная теория всех разнообразных процессов обогащения полезных ископаемых основана на понятиях о фракционном составе минерального сырья и сепарационных характеристиках обогатительных аппаратов и технологических схем. Фракционный состав позволяет оценивать распределения твёрдой фазы и ценных компонентов по фракциям, различающихся физическими свойствами частиц. Сепарационная характеристика даёт оценку степени извлечения каждой из фракций в концентрат по отношению к сырью.

Фракционный состав минерального сырья и сепарационные характеристики позволяют прогнозировать технологические результаты обогащения (выход, содержание, извлечение) любой сырья с помощью исследуемой технологической схемы; оценивать эффективность работы и сравнивать обогатительные аппараты различных конструкций; решать задачи экономически оптимальной стратегии обогащения сложного сырья.