1.13. Теоретические исследования зонального разрушения горных пород вокруг выработки
Выше было показано, что в сильно сжатых горных породах разрушение отрывом наступает в результате действия распирающих усилий сдвиговых микродефсктов, появляющихся на неоднородностях среды, основными из которых в поликристаллах являются границы зерен.
В этих условиях функция перемещений терпит разрыв, классические условия совместности деформаций не выполняются, а в среде формируется вихревое механическое поле [43].В геомеханике нашли применение ряд математических моделей, описывающих поведение горных пород в предельном состоянии и разрушенных [39,42,47, 48,49].
В работе [39] рассмотрена модель, в которой напряженное состояние породы представляет собой линейную комбинацию трех состояний: системы пластических элементов в упругой среде, трещин отрыва и трещин сдвига. Для каждого из таких состояний выполняется условие совместности деформаций.
В работе [48] рассмотрена модель среды со структурой и определено напряженное состояние пород вокруг выработок. Поле перемещений точек среды непрерывно.
В работах [42, 49] рассмотрены упруго-пластические модели среды с дилатансией. Модели основаны на классических представлениях механики сплошной среды.
Попытка применения теории кусочно-непрерывных функций для описания разрушения горных пород предпринята в [50]. При переходе к конкретным краевым задачам такой подход встретил трудности интерпретации полученных результатов [51]. Поэтому дальнейшее развитие этого направления пошло по пути совершенствования применяемого матаппарата [52].
Современная физика прочности и пластичности интенсивно развивает направление калибровочной теории для описания дефектных структур [53]. В геомеханике такой подход рассмотрен в работах [40,41].
Пластическое деформирование твердых тел, т.е. деформирование без разрыва сплошности, обусловлено дислокационными (сдвиговыми, трансляционными) и дисклннационными (вращательными, ротационными) механизмами деформации кристаллической решетки минералов [54].
При этом отмечается "дальнодействие " дислокаций и коллективный характер движения при увеличении их плотности [55-58].Математическое описание твердого тела с дефектами в рамках механики сплошной среды наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Так в теле с дефектами типа дислокаций нарушается однозначность перемещений точек тела как функций координат.
В континуальной механике в общепринятой формулировке существуют взаимооднозначные и дифференцируемые соответствия между начальным и текущим положением точки (диффеоморфизм модели):
х* Ј>.t),(i = 1.2,3) (1.1)
Связь между исходным и текущим состоянием задается как
cix* = riadg* (i,a = 1,2,3), (1.2)
где г/а = - тензор дисторсии (оператор, который переводит радиус-
вектор между близкими точками исходного положения сплошной среды в радиус-вектор между этими же точками конечного положения).
Интегрируя выражение (1.2) вдоль некоторого контура, можно однозначно определить текущее положение интересующей нас точки
(1.3)
2
В континуальной теории дефектов приходится вводить понятие эквивалентности точек относительно функции, переводящей конечные состояния в исходные (подход Эйлера). Множество, элементами которого являются классы эквивалентности - фактор-пространство. Между фактор- пространством и начальной конфигурацией сплошной среды устанавливается взаимнооднозначное соответствие.
Но при этом наряду с интегрируемой дисторсней приходится вводить дополнительно некоторые величины - неинтегрируемые части. Это меняет выражение для тензора деформации, в связи с чем возникает задача отыскания этого выражения.
Решение задачи находится на пути применения калибровочной теории дислокаций и дисклииаций [S3].
С появлением в теле дефектов однородная группа трансляции Т(3) и однородная группа вращений SO(3) локализуются. При этом лагранжиан теории упругости становится неинвариантным относительно локализованной группы преобразований. Калибровочный подход состоит в подборе полей, компенсирующих добавки, ведущие к неинвариантности лагранжиана. Доказывается, что к успеху приводит замена обычного дифференцирования на ковариантнос.
Вариация лагранжиана по полным смещениям приводит к системе дифференциальных уравнений равновесия. Записанные в терминах потока и плотности дислокаций, они имеют вид уравнений электромагнитного поля Максвелла. Аналогом электромагнитного поля выступает тензор потока дислокаций, аналогом заряда - упругий импульс, а аналогом магнитного поля выступает тензор плотности дислокаций (источников, как и в случае магнитного поля, нет).
Будучи переписанными относительно полных смещений и пластических дисторсий, уравнения вихревых полей пластических деформаций становятся пригодным для практического применения в расчетах. В работе [43] калибровочная теория применена для описания периодического деформирования металлов.