6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества
Рассмотрим еще два важных понятия, связанных с понятием окрестности.
Определение 14. Точка х Î А называется внутренней точкой множества А, если найдется такая ее окрестность О(x), что О(x) Ì А.
Множество всех внутренних точек множества А называется внутренностью А и обозначается Int А.
Пример 18. Пусть А = [0, 1] – отрезок вещественной прямой, тогда Int [0, 1] = (0, 1).
Операция Int двойственна операции замыкания, что видно из ее свойств, формулируемых в следующей теореме.
Теорема 7. Для любого множества А Ì Х имеем:
1) Int А – открытое множество,
2) Int А – наибольшее открытое множество, содержащееся в А;
3) (А - открыто) Û (Int А = А);
4) (x Î Int А) Û (х Î А и х не является предельной точкой для Х\А);
5) `
= X\Int А.
Доказательство. Свойства 1) – 3) почти очевидны. Проверим, например, свойство 1). Пусть х Î Int А; тогда найдется такая открытая окрестность О(х) точки х, что О(х) Ì А. Но О(х) открыто, т.е. каждая ее точка внутренняя для А и следовательно О(х) Ì IntА. Поэтому по теореме 2 Int А – открытое множество.
Проверим свойство 4). Если x Î Int А, то, очевидно, х Î А и х Ï (Х\А)'. Обратно: если х Î А и х Ï (Х\А)', то найдется окрестность U(x) Ì А, следовательно, х Î Int А.
Проверку свойства 5) предоставим читателям.
Следующие важные понятия – понятия граничной точки и границы множества А, ассоциируются с интуитивным представлением о «перегородке», отделяющей область.
Определение 15. Граничной точкой множества А называется точка х из топологического пространства Х, которая обладает свойством, что пересечение любой окрестности О(х) с множеством А и с множеством Х\А не пусто. Границей дА множества А назовем множество всех граничных точек А.
Таким образом, х Î дА тогда и только тогда, когда каждая окрестность х содержит точку как из А, так и из Х\А.
Пример 19. Пусть Х = R1 и А = (0, 1) Тогда дА = {0, 1} – множество из двух точек: 0 и 1.
Мы снова получили операцию над множеством. Ее связь с операциями замыкания и Int выясняет следующая теорема.
Теорема 8. Для любого А Ì Х имеем:
1) дА = `А Ç ;
2) дА = `А\IntА;
3) `А = А È дА;
4) Int А = А\дА;
5) (А замкнутo) Û (дА Ì А);
6) (А открыто) Û ((дА) Ç А =?).
Доказательство. Докажем некоторые из этих утверждений, оставив другие в качестве упражнения. 1) Пусть х Î дА. Тогда в любой окрестности О(x) точки х найдутся точки х1, х2 такие, что х1 Î A, х2 Î Х\А. Отсюда х Î `A и х Î 
, т. е. х Î `A Ç . Обратно: если х Î `А Ç , то х Î `А, х Î и значит для любой окрестности О(х) пересечения О(х)ÇА ? ? и О(х) Ç(Х/А) ? ?. Следовательно х граничная точка.
2) Согласно пункту 1) дА Ì `А. С другой стороны, если х Î IntA, то существует окрестность этой точки, которая полностью лежит в А и, следовательно, не пересекается с Х/А, т.е. х Ï дА. Значит дА Ì `А\IntA. Наоборот, если хÎ `А\IntA, то пересечение любой окрестности точки с А не будет пустым (принадлежность замыканию), но также не будет пустым и пересечение любой окрестности с Х\А, т.к. точка не является внутренней.
3) Так как Int A Ì `A, то из 2) следует `A = Int A È дА Ì А È дА; так как дА Ì`А и А Ì`А, то А È дА Ì `А