2. Топология и топологическое пространство. База топологии

Определение 1 (основное определение). Пусть Х – произвольное множество и t = {U} – совокупность его подмножеств, обладающая следующими свойствами (аксиомы топологии):

1) ?, Х Î t;

2) объединение любой совокупности множеств из t принадлежит t;

3) пересечение любого конечного числа множеств из t принадле­жит t.

Такая совокупность подмножеств t называется топологией на X. Множество Х с заданной на нем топологией t называется топологическим пространством и обозначается (X, t), подмножества из совокупности t называются открытыми (в пространстве (X, t)).

Пример 1. Х – числовая прямая R¹. Топологию на R¹ можно за­дать следующим набором подмножеств: пустое множество ?, всевоз­можные интервалы и их объединения U = . Аксиомы топологии проверяются несложно.

Пример 2. X = R². Открытым множеством назовем всякое множество в X = R², которое вместе с каждой своей точкой содер­жит достаточно малый открытый круг с центром в этой точке, а также пустое множество. Это определение соответствует стандартному пониманию открытых множеств, даваемому в курсе «Математического анализа». Легко проверить, что система всех откры­тых множеств в Х = R² образует топологию.

Пример 3. Х – произвольное множество. Совокупность t_min = {?, X} очевидно задает топологию на Х. Таким образом определенная топология на Х называется минимальной или тривиальной.

Пример 4. Х – произвольное множество, t_max = {всевозможные подмножества X}. Совокупность t – топология на Х. Эта топология называется максимальной или дискретной.

Таким образом, на од­ном и том же множестве можно ввести различные топологии, на­пример, тривиальную и дискретную.

С понятием открытого множества в топологическом пространстве (X, t) тесно связано двойственное понятие замкнутого множества: так называют множество, дополнение которого до Х открыто.

В силу двойственного характера операций в теории множеств со­вокупность {F} всех замкнутых множеств топологического про­странства (X, t) удовлетворяет следующим свойствам:

1) X, ? Î {F};

2) пересечение любой совокупности множеств из {F} принадле­жит {F};

3) объединение любого конечного числа множеств из {F} при­надлежит {F}.

Эти свойства полностью характеризуют замкнутые множества топологического пространства (X, t), а следовательно, и тополо­гию t (так как множества из t – это дополнения замкнутых мно­жеств) и могут быть приняты в качестве аксиом топологического пространства. Таким образом, топологию на Х можно задать, ука­зав совокупность {F} подмножеств X, удовлетворяющую свойствам 1) – 3); в этом случае топологией на Х будет совокупность {X\F}.

Различные топологии на одном и том же множестве образуют частично упорядоченное множество.

Определение 2. Говорят, что топология t на Х слабее топологии t' на Х (t £ t'), если из того, что U Î t, следует, что U Î t', т. е. если t Ì t'. Топология t' в этом случае сильнее топологии t.

Заметим, что для всякой топологии t имеем t_min £ t £ t_max.

Очень часто получить описание всей топологии, как совокупности некоторых подмножеств Х, затруднительно. Для задания топологии используют построение совокупности подмножеств, порождающих топологию.

Определение 3. Совокупность Â = {V} открытых множеств топологического пространства (Х, t) называется базой топологии t, если для всякого открытого множества U Î t и для всякой точки х Î U найдется такое множество V Î Â, что х Î V и V Ì U.

Следовательно, всякое непустое открытое множество топологического пространства (Х, t) можно представить в виде объединения открытых множеств из базы топологии t (это свойство характеризует базу и часто принимается за определение базы).

Пусть {V_a} – некоторая совокупность подмножеств Х. Возникает вопрос: при каких условиях можно построить топологию на Х так, чтобы семейство {V_a} было базой этой топологии?

Теорема 1 (критерий базы). Пусть {V_a}_aÎА – некоторая не пустая совокупность подмножеств Х. Тогда Â = {V_a}_aÎА является базой некоторой топологии на Х, если

1) Х = ,

2) для каждого V_a и каждого V_b из Â и каждого x Î V_a Ç V_b существует V_g Î Â такое, что х Î V_g Ì V_a Ç V_b.

Доказательство. Если Â = {V_a}_aÎА – база топологии, то V_a Ç V_b – открытое множество, и по определению базы для каждого x Î V_a Ç V_b существует V_g Î Â такое, что х Î V_g Ì V_a Ç V_b.

Обратно: если Â = {V_a}_aÎА удовлетворяет условию теоремы. Будем говорить, что множество U Ît, если U = V_b. Принадлежность Х Î t вытекает из условия 1). Принадлежность ? Î t является следствием множественного равенства V_b = ?. Вторая аксиома проверяется непосредственно: , т.е. объединение множеств из t представимо в виде объединения множеств из Â и, следовательно, также принадлежит t.

U₁ÇU₂ = (V_b)Ç(V_d) = ( V_bÇ V_d).

Для доказательства нам достаточно показать, что множество V_bÇ V_d = , где Â. Тогда U₁ÇU₂ = , т.е. объединение множеств из Â, а следовательно U₁ÇU₂ из t. В качестве системы множеств в доказываемом равенстве берем все множества из Â, удовлетворяющие условию Ì V_bÇ V_d. Тогда включение Ì V_bÇ V_d очевидно. Докажем обратное включение. Возьмем произвольное х Î V_bÇ V_d.

Заметим, что в доказательстве мы указали и способ построения топологии, если задано семейство Â = {V_a}_aÎА, удовлетворяющее условию теоремы.

Пример 5. Пусть Х = Rⁿ есть n-мерное векторное пространство. В качестве базы топологии на Rⁿ можно взять систему множеств Â = {V_{a, b} }, где V_{a, b} = {х Î Rⁿ: а_i < x_i < b_i, i = 1, ..., n}, x_i – координата вектора х = (x₁, x₂,…, x_n); а = (а₁, a₂,…, а_n), b = (b₁, b₂,..., b_n) – произвольные векторы в Rⁿ, причем а_i < b_i.

Такие множества V_{a, b} называются открытыми параллелепипедами в Rⁿ.

В дальнейшем, если не будет указано, какая именно топология рассматривается на Rⁿ, мы будем считать, что Rⁿ снабжено топологией, база которой указана в примере 5.

В топологическом пространстве естественно выбирать базу топологии с возможно меньшим количеством элементов. Например, в R¹ множества V = (t₁, t₂), где t₁, t₂ рациональные числа, образуют базу топологии из счетного числа элементов.