Сопряженные пространства и слабая сходимость

Линейный оператор А: X®R называется линейным функционалом. Пространство L(X, R) банахово (п. 5.1), поскольку пространство вещественных чисел полное. Линейные ограниченные функционалы будем обозначать f(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Пространство L(X, R) называется пространством, сопряженным к X и обозначается X*.

Конечномерные пространства.

Если (a₁,…,a_n) базис в п-мерном пространстве L, то линейный функционал f однозначно задается значениями (f(a₁),…, f(a_n)), поскольку для любого вектора значение функционала задается формулой . Мы будем использовать обозначение f_i = f(a_i). Обратно, любой набор п чисел (f₁,…, f_n) задает линейный оператор в п-мерном пространстве описанным образом. Таким образом, пространством, сопряженным с п-мерным, является также п-мерное пространство. По сути, это описание на новом языке факта, который излагался в курсе линейной алгебры. Но теперь этого мало: мы рассматриваем пространства, наделенные нормой.

При p > 1 пространством, сопряженным к , является пространство , где Если p=2, то и q=2, т.е. пространство является сопряженным к самому себе. Этот факт будет далее обобщен.

Сопряженным к пространству является пространство . Действительно,

Пространства последовательностей.

Ограничимся формулировками некоторых результатов. При p>1 (l^p)*= l^q, где

(l¹)*=m. При этом, m*?l¹.

Функциональные пространства.

Сопряженным к пространству С является пространство функций с ограниченной вариацией (подробности опускаем). К пополненному пространству L^p сопряженным является пространство L^q (p и q связаны обычным соотношением примера 1).

Гильбертовы пространства.

ТЕОРЕМА 15. Пространство, сопряженное к гильбертову пространству Н, изометрично Н.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Последовательность {x_n} в линейном нормированном пространстве слабо сходится к вектору x₀, если для любого непрерывного функционала f справедливо утверждение f (x_n) ® f (x₀).

Из непрерывности функционала следует, что из условия x_n®x₀ по норме (в старом смысле) следует слабая сходимость. Приведем пример, который показывает, что обратное неверно.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве l² последовательность векторов х₁=(1,0,…,0,…), х₂=(0,1,0,…,0,…),… (у вектора х_n п-я координата равна единице, остальные нулевые). Отмечалось (п. 3.3), что эта последовательность не сходится в метрике пространства l². Пусть fÎl². Тогда (f,х_n)= f_n®0, поскольку ряд сходится. Тем самым х_n слабо сходится к 0.