2. Сходимость почти всюду

Пусть (X, S, m) – измеримое пространство со счетно-аддитивной полной мерой m и множество Е Î S. Далее мы пишем, что функции f £ g на множестве Е, если выполняется неравенство f(x) £ g(x) при всех х Î Е.

Определение 2. Последовательность функций {f_n} на множестве Е сходится к функции f(х) = , если выполняется равенство f(x) = при всех х Î Е.

Последовательность функций {f_n} сходится монотонно возрастая f_n ­ f на Е, если f = , на Е и последовательность не убывает f_{i £} f_i+l, i =1,2,..., на множестве Е. Аналогично определяется монотонная сходимость вида f_n ¯ f на множестве Е.

Определение 3. Функция h: Е ® R называется простой, если она имеет конечное множество значений. Пусть h принима­ет значения h_j на множествах H_j, j = 1, 2, ...,k. Тогда H_j образуют конечное разбиение множества и имеет место равенство

,

где - характеристическая функция множества H_j. Непосредственной проверкой убеждаемся, что простая функция h(x) измерима тогда и только тогда, когда все множества H_j измеримы. В приведенном представлении предполагается, что h_j различны при различных значениях j.

Теорема 2. Для каждой неотрицательной измери­мой функции f на множестве Е Î S найдется такая последовательность простых неотрицательных изме­римых функций h_n(х), которая сходится монотонно h_n ­ f на множестве Е.

Доказательство. Зададим последовательность простых функций на множестве Е по формуле:

,

где и В_п = E(f ? 2ⁿ). Эти функции неотрицательны и измеримы на множестве Е. Покажем, что последовательность простых функций {h_n} является неубывающей. Поскольку , то

.

Далее, так как 0 £ f(x) – h_n(x) < 1/2ⁿ при всех х Î E(f < 2ⁿ), то эта последовательность сходится монотонно к функции f на множестве Е.

Следствие 1. Для каждой неотрицательной ограниченной измери­мой функции f на множестве Е Î S найдется такая последовательность h_n(х) простых неотрицательных изме­римых функций, что {h_n} сходится монотонно и равномерно на множестве Е к функции f.

Утверждение следствия установлено по существу в ходе доказательства теоремы.

Определение 4. Последовательность функций {f_n} сходится почти всюду (п. в.) к функции f на множе­стве Е, если существует такое множество АÎS меры нуль m(А) = 0, что справедливо равенство f(x) = при всех х Î Е\A.

Две функции называются эквивалентными f~g, если существует такое множество А Î Е меры нуль m(А) = 0, что f(x) = g(x) при всех х Î Е\А.

В пространстве S(E) всех измеримых функций на множестве Е эквивалентные функции отождествляются так, что элементами этого пространства, на самом деле, являются классы эквивалентных функций.

Нетрудно проверить, что предел f(x) = почти всю­ду сходящейся последовательности измеримых функций является также измеримой функцией и определяется од­нозначно с точностью до эквивалентности. Действительно, пусть А множество нулевой меры из определения. Тогда последовательность {f_nc_Е\А} сходится для всех x Î E\A к функции f(x) c_Е\А. В силу следствия 2 из леммы 1 последняя функции является измеримой. Тогда функция f(x) c_Е\А + c_А является измеримой на Е, как сумма двух измеримых функций. Причем построенная функция эквивалента f(x), а следовательно, последняя является измеримой функцией.

Лемма 2. Пусть Е = {x ÎX: f_n(x) ® f(x) при п ®¥}. Тогда

X\E =

Доказательство. Точка x Î X \ E в том и только в том случае, когда f_n(x) не сходится к f(x). Но последнее по определе­нию означает, что для некоторого m₀ при любом п ? 1 найдется такое k > п, что |f_k(x) – f(x)| > . Последнее означает, что х Î для любого n. Следовательно, х Î и х Î . Обратное включение проверяется уже просто.

Теорема 3 (критерий сходимости почти всюду). Пусть m(Х) 0 выполнено равенство

.

Доказательство. Достаточно установить, что сходи­мость почти всюду эквивалентна тому, что для любого натураль­ного т

В обозначениях леммы 2 сходимость f_n(x) ® f(x) почти всю­ду на X эквивалентна тому, что m(Х \Е) = 0 или . Но это, в свою очередь, равносильно тому, что для любого т выполнено равенство . Определим для фиксированного m множества G_n = при всех натуральных п. Тогда G₁ E G₂ E... Для завершения доказательства остается только заметить, что по теореме о непрерывности меры (теорема 3.5)

.