3. Сходимость по мере и ее свойства

Предположим, что {f_n(x)} и f(x) – измеримые и ко­нечные на измеримом пространстве (X, S, m) функции.

Определение 5. Говорят, что последовательность f_n(x) ? f(x) на X при п ® ¥ (сходится по мере на X), если для любого e > 0 предел

= 0.

Отметим, что в отличии от сходимости почти всюду, для которой измеримость предельной функции устанавливается, в определении сходимости по мере сразу предполагается измеримость функции f(x). Поскольку определение сходимости по мере существенно отличается от определений поточечной и равномерной сходимо­сти, установим некоторые свойства этой сходимости.

Теорема 4. Предел последовательности функций, сходящихся по мере, единственен с точностью до эквива­лентности.

Доказательство. Предположим, что последователь­ность f_n(x) ? f(x) и f_n(x) ? g(x) при п ® ¥. Тогда для лю­бого e > О и для любого n имеем

{x Î X: |f(x) - g(x)| > e} Ì {х Î X: |f_n(х) - f(х)| > e/2} È {x Î X: |f_n(x) - g(х)| > e/2},

откуда ясно, что m({х Î Х: |f(x) - g(х)| > 0}) = 0, т. e. f(x) = g(x) почти всюду.

Теорема 5. Пусть f_n(x) ? f(x) и g_n(x) ? g(x) при п ® ¥. Тогда f_n(x) + g_n(x) ? f(x) + g(x) при п ® ¥.

Доказательство. Утверждение теоремы сразу выте­кает из верного для любого e > 0 и для любого n включения

{х Î X: |( f_n(x) + g_n(x)) - (f(x) + g(х))| > e} Ì

Ì {х Î X: | f_n(x) – f(x)| > e/2}È{х Î X: |g_n(x) – g(x)| > e/2}.

Теорема 6. Если m(Х) < ¥, открытое множест­во G Ì R¹, функция g(х) непрерывна на множестве G, а по­следовательность f_n(x) ? f(x) при n ® ¥, причем все функ­ции f_n(x) и функция f(x) отображают множество X в G, то g(f_n(x)) ? g(f(x)) при n ® ¥.

Доказательство. Так как любой интервал (a, b) на числовой прямой является счетным объединением отрезков [a + 1/n, b – 1/n], то из те­оремы 1.3 вытекает, что справедливо представление , где все множества К_п компактны в R¹, т. е. замкнуты и огра­ничены, и K₁ Ì К₂ Ì ... Рассмотрим прообразы Е_п = f ^-1(K_n) при п = 1, 2,... При этом E₁ Ì E₂ Ì... и .

Пусть заданы e > 0 и d > 0. По теореме о непрерывности меры можно подобрать r так, что­бы

Пусть r > 0 – расстояние от компакта К= до замкнутого множества F = R¹ \ G. Определим компакт K₀ = {y ÎR¹: min_xÎK|x - y| £ r/2} Ì G.

Тогда функция g(х) равномерно непрерывна на К₀, и, следова­тельно, существует такое s > 0, что при х, у Î К₀ и |х – у| < s имеем |g(х) - g(у)| < e.

Выберем N таким образом, чтобы при п > N выполнялось неравенство

m(B_n) = m({x Î X: | f_n(x) - f(x)| ? min(r/2, s)}) < d/2.

Теперь m(АÈВ_п) < d, а если х Î X\( АÈВ_п), то f(х) Î К Ì К₀, f_n(х) Î К₀ и | f_n(x) - f(x)| < s, откуда | g(f_n(x)) - g(f(x))| < e. Теорема доказана.

Следствие 1. Если m(Х) < ¥ и последователь­ность f_n(x) сходится по мере к f(x) при n ® ¥, то f_n²(x) ? f ²(x) при n ® ¥. Если же, вдобавок, функции f(x) и f_n(x) при n = 1, 2,... не обращаются в нуль на X, то 1/f_n(x) ? 1/ f(x) при n ® ¥.

Замечание. Как показывает пример последова­тельности f_n(x) = х + 1/n на прямой R¹, условие конечности меры X существенно для справедливости следствия.

Следствие 2. Если m(X) < ¥, последователь­ность f_n(x) ? f(x) и g_n(x) ? g(x) при п ® ¥, то f_n(x)g_n(x) ? f(x)g(x) при п ® ¥.

Доказательство. Утверждение сразу вытекает из те­оремы и его первого следствия и следующих равенств:

(f_n(x) + g_n(x))² = f_n²(x) + 2 f_n(x) g_n(x) + g_n²(x), (f(x) + g(x))² = f ²(x) + 2f(x)g(x) + g²(x).

.

Следствие 3. Если m(X) < ¥, последователь­ность f_n(x) ? f(x) и g_n(x) ? g(x) при п ® ¥, причем функции g(х) и g_п(х) при n = 1,2,... не обращаются в нуль на X, то f_n(x)/g_n(x) ? f(x)/g(x) при п ® ¥.