5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы

Пусть L – подпространство гильбертового пространства Н, порожденное ортонормальной системой и .

, где .

Числа с_i называются коэффициентами Фурье вектора x относительно ортонормальной системы . Из последнего равенства получаем

.

Отсюда следует, что норма разности принимает наименьшее значение, когда коэффициенты являются коэффициентами Фурье элемента относительно системы . В этом случае имеем

, (7)

и так как можно выбрать сколь угодно малым, то

Из формулы (7) следует также, что ряд сходится причём .

Пусть теперь x – любой элемент пространства H. Обозначим через z проекцию x на L; тогда , где и . Так как , , , то . Следовательно, для любого элемента x из H справедливо неравенство

,

где , . Это соотношение называется неравенством Бесселя.

Пусть в пространстве H дана ортонормальная система элементов . Если не существует элемента , отличного от нулевого и ортогонального всем элементам системы , то эта система называется полной. Ортонормальная система называется замкнутой, если подпространство L, порождаемое этой системой, совпадает с H. Ряд Фурье по замкнутой системе, построенной для любого , сходится к этому элементу и для любого имеет место равенство Парсеваля

Замкнутая ортонормальная система называется также ортонормальным базисом гильбертова пространства.

Если ортонормальная система полная, то она замкнутая. Поскольку, в этом случае не существует вектора отличного от нулевого и ортогонального линейному многообразию L, порождаемому системой. Но тогда в силу теоремы 9 и система замкнутая.

Обратно, замкнутая ортонормальная система полна, так как для такой системы

и если , т.е. , то , что означает полноту системы .

Примером полной ортонормальной системы является система тригонометрических функций

в пространстве .

Теорема 10. В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует полная ортонормальная система векторов.

Доказательство. Пусть – любое счётное всюду плотное множество в пространстве H, причём все , отличны от нулевого вектора. Полагаем

,

и пусть - одномерное пространство, порождённое элементом .

.

Пусть - подпространство, порождённое элементами и , и - первый элемент множества G не принадлежащий . Пусть - проекция на . Полагаем

,

и т.д. Получаем ортонормальную систему и так как каждый элемент принадлежит некоторому в силу построения этих подпространств, то подпространство, определяемое системой совпадает с подпространством определяемой системой , т.е.

Задачи

1. Множество в линейном пространстве называется выпуклым множеством, если оно вместе с любым двумя точками содержит все точки

, , , ,

или, геометрически выражаясь, содержит отрезок, концами которого являются точки и . Доказать, что любой шар в линейном нормированном пространстве является выпуклым множеством.

2. Доказать, что неравенство треугольника в определении линейного нормированного пространства можно заменить условием выпуклости единичного шара.

3. На плоскости взято произвольное центрально-симметричное замкнутое выпуклое множество Q, у которого начало координат является внутренней точкой. Доказать, что существует норма, в которой Q является единичным шаром.

4. Доказать, что конечномерное подпространство нормированного пространства Е всегда замкнуто в Е.

5. Задает ли норму в пространстве R₁ функция j(х) = |arctgx|?

6. Установить непосредственно эквивалентность следующих норм в - мерном линейном нормированном пространстве X:

,

.

Что будут представлять собой единичные шары и в пространстве с этими нормами.

7. Проверить аксиомы нормированного пространства для пространства матриц размера :

а) , б) , в) .

8. Доказать, что пространство банахово в нормах предыдущего примера.

9. Доказать, что ? (Использовать неравенство Минковского).

10. Является ли нормой в пространстве непрерывно-дифференцируе-мых функций C¹[a, b] на отрезке [a, b] следующие величины:

a)

b) |x(b) – x(a)| +

c) |x(a)| +

d)

11. В множестве непрерывных функций, определённых на , каждая из которых равна нулю вне некоторого конечного интервала (своего для каждой функции), вводится норма . Будет ли пространство этих функций полно в метрике ? Если нет, то что будет пополнением этого пространства?

12. Является ли пространство C¹[a, b] банаховым по норме

.

13. Доказать, что пространство M[a, b] – ограниченных на отрезке [a, b] функций с нормой является банаховым.

10. Найти бесконечномерное линейное подпространство L Ì такое, что

11. Показать, что проекция вектора из гильбертова пространства H на подпространство есть элемент этого подпространства, находящийся на кратчайшем расстоянии от х, т.е.

для любого .

12. Известно, что в некотором нормированном пространстве Е для любой пары векторов х и у справедлива лемма о параллелограмме (т. е. ). Рассмотрим функцию

.

Доказать, что она удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения и .

13. В гильбертовом пространстве даны последовательности {x_n},{y_n} такие, что ||x_n|| £ 1, ||y_n|| £ 1 и (x_n, y_n)®1. Докажите, что ||x_n - y_n|| ® 0.

14. Докажите, что множество {x: ||x - a|| = ||x - b||} является выпуклым в гильбертовом пространстве. Верно ли это заключение для произвольного банахова пространства?

15. Пусть в банаховом пространстве Х множества А замкнутое, а B компактное. Докажите, что множество А+B замкнутое. При этом из замкнутости А и B не следует замкнутость А+B.

16. Докажите, что любое семейство замкнутых ограниченных выпуклых множеств в гильбертовом пространстве имеет непустое пересечение. Верно ли это для любого банахова пространства?

17. Пусть аÎ[0, 1] и С_a={xÎС: x(а) = 0}. Докажите, что С_a подпространство С. Является ли оно всюду плотным? А если это множество рассматривать в пространстве L²?

18. Докажите, что множество функций из С, для которых , является бесконечномерным подпространством в С.

19. Пусть В₁ и В₂ – шары в нормированном пространстве с радиусами соответственно r₁ и r₂. Доказать, что если В₁ Ì В₂, то r₁ £ r₂.