5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).

Рассмотрим теперь множество линейных ограниченных операторов, отображающих линейное нормированное пространство в себя.

B пространстве операторов , действующих в ба­наховом пространстве X можно рас­сматривать произведение операторов. Именно, если , то АВ есть оператор, определяемый равенством

Отличительной особенностью этого произведения является его некоммутативность, потому что, вообще говоря, АВ ВА. Чтобы получить пример некоммутирующих операторов, достаточно взять в R_n два оператора, A и В, заданные некоммути­рующими матрицами и. Так как оператор АВ за­дается произведением матриц и , что легко прове­рить, то некоммутируемость таких операторов очевидна. Свойством дистрибутивности произведение операторов обла­дает, так как из определения суммы и произведения опера­торов следует, что

т.е. что

Отметим, что если I – единичный оператор, то для любого .

Нетрудно проверить, что В самом деле, пусть и Тогда

Поэтому

Из доказанного неравенства, в частности, следует, что если и в смысле равномерной сходимости, то

Прежде всего из сходимости последовательности к А следует, что есть ограниченная числовая последовательность, т. е. для любого n. Поэтому

при так как в каждом слагаемом справа один множитель ограничен, а другой стремиться к нулю.

Частным случаем произведения операторов являются степени оператора

Ясно, что

Положим, кроме того, по определению, что

Теорема 7. Пусть где X – банахово пространство и Тогда оператор имеет обратный линейный и ограниченный оператор, причём

Доказательство.

(12)

и составим частичные суммы этого ряда:

Имеем

где Отсюда следует, что при т.е. последовательность частичных сумм ряда (12) является фундаментальной. В силу полноты пространства операторов существует

Покажем, что Имеем

ибо как общий член сходящегося ряда. Аналогично убеждаемся, что и теорема полностью доказана.

Применим доказанную теорему к интегральным уравнениям.

Пример 19. Пусть непрерывное на ядро и непрерывная на функция. Тогда

есть линейный оператор, действующий в пространстве а интегральное уравнение

(13)

называется уравнением Фредгольма второго рода, можно записать в операторной форме

На основании предыдущей теоремы мы получаем, что если то уравнение (13) имеет единственное решение, которое даётся равенством

Рассмотрим подробнее это решение и условия, при которых оно существует. Так как то условие очевидно, выполняется, если Будем считать, что удовлетворяет этому неравенству.

Пусть Функция называется второй итерацией ядра

Итак,

или, меняя обозначение переменной интегрирования,

Далее,

и, снова пологая

можем написать

где третья итерация ядра Вообще

где – n-я итерация ядра определяемая формулой

Равенства которое мы отмечали выше, дают

С помощью итерированных ядер решение интегрального уравнения может быть записано так:

(14)

Ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится в смысле сходимости в пространстве C[a, b], т.е.

(15)

Этот ряд равномерно сходится на если . В самом деле, прежде всего имеем

и вообще

Отсюда где Таким образом, общий член исследуемого функционального ряда не превосходит по абсолютной величине члена сходящегося числового ряда, и тре­буемая равномерная сходимость доказана. Обозначим сумму этого ряда R(t, s, ). Это - непрерывная функция. Умножая члены ряда (15) на и интегрируя ряд почленно, получим

Сравнивая это выражение с выражением (14) для решения интегрального уравнения, можем написать

(16)

Это и есть выражение для обратного оператора в компактной форме. Функция R(t, s,) называется разре­шающим ядром рассматриваемого уравнения Фредгольма.

Сравните полученное решение с решение в главе 2 п. 2.

Пример. 20. Рассуждениями, аналогичными проведённым выше, легко показать, что если

и то интегральное уравнение (13) при значениях параметра m, удовлетворяющих неравенству имеет решение, выражаемое формулой (16), где разрешающее ядро R(t, s, ), по переменным t и s имеет интегрируемый квадрат, и ряд (15), его изображающий, сходится в среднем.