Примеры метрических пространств.

1. Множество вещественных чисел R.

r(х,у) =÷х-у÷. 1 и 2 свойства расстояния очевидны, неравенство треугольника следует из известного неравенства÷а+b÷ £÷a÷+÷b÷ при заменах a: = х-z, b: = z-y.

2. Конечномерные метрические пространства .

Рассмотрим множество векторов вида х = (х₁,х₂,…, х_n) c вещественными компонентами. р?1. Определим величину r_p(х,у) = . 1 и 2 свойства метрики очевидны, неравенство треугольника следует из неравенства Минковского (п. 2). Множество n – мерных векторов с расстоянием r_p(х,у) является метрическим пространством, которое обозначается . Cходимость в пространствах равносильна покоординатной сходимости.

На множестве n-мерных векторов можно определить еще одно расстояние: r_¥(х,у) = . Свойства метрики легко проверяются, впрочем, сходные рассуждения будут приведены в дальнейшем. Здесь сходимость также равносильна покоординатной.

Пространство называется эвклидовым.

Рассмотрим замкнутые шары пространств при различных значениях р с центром в точке 0 = (0,0) и радиусом 1. Это есть множества вида {(x₁,x₂):u x₁u^p+ux₂u^p £ 1}.

3. Пространство непрерывных функций С.

Рассмотрим множество непрерывных функций, определенных на отрезке [0,1]. Тем самым, здесь точкой является функция. Определим расстояние следующим образом: r(х,у) =. Поскольку функция непрерывна на отрезке [0,1], то по теореме Вейерштрасса (см. мат. анал!) она достигает максимального значения, так что определение корректно.

Опишем сходимость в этом пространстве. Если х_n®x₀ в пространстве С[0,1], то , т.е. "e>0 $N "n>N "tÎ[0,1] . В математическом анализе такая сходимость функций назывался равномерной в отличие от поточечной, которая состоит в том, что х_n(t)®x₀(t) при любом tÎ[0,1], т.е. в формальном виде "tÎ[0,1] "e>0 $N "n> N .

4. Пространство ограниченных последовательностей т.

Рассмотрим множество последовательностей х=(х₁,х₂,…,х_n,…), каждая из которых ограничена, т.е uх_nu £М(х) (этим подчеркнуто, что для каждой последовательности границы свои). Например, последовательность (1000, -1, 1000, -1, 1000, -1, 1000,…) входит в т, а последовательность (1, -1, 2, -1, 3, -1, 4,…) нет. Определим расстояние: r(х,у)= Из ограниченности последовательностей х,у следует, что ограничена и последовательность , т.е.

Пусть х^(k)®х⁽⁰⁾ в пространстве т. Поскольку при любом i =r(х^(k) ,х⁽⁰⁾)®0, то в силу неотрицательности по теореме о милиционерах ®0, т.е. из сходимости в пространстве т следует покомпонентная сходимость. Обратное неверно: из покомпонентной сходимости не следует сходимость в пространстве т. В качестве примера рассмотрим последовательности х^(k), где все компоненты кроме k-ой нулевые, а . Очевидно, что ®0 при любом i (в соответствующей последовательности все элементы кроме одного нули). В то же время, неверно, что х^(k)®0=(0,0,…,0,…), поскольку r(х^(k),0) = 1 при всех k. Здесь ситуация аналогична предыдущему примеру: для сходимости в пространстве т нужна не просто покомпонентная сходимость, а равномерная покомпонентная сходимость.

5. Пространство сходящихся последовательностей с.

Элементами этого пространства являются сходящиеся последовательности х = (х₁,х₂,…,х_n,…) с расстоянием r(х,у) = . Поскольку сходящиеся последовательности ограничены, пространство с является подпространством пространства т.

6. Пространства непрерывных функций L^p_с.

Рассмотрим (аналогично примеру 3) множество непрерывных функций, определенных на отрезке [0,1]. Расстояние между функциями определим формулой r_p(х,у)=, где р?1. Свойства расстояния следуют из свойств интеграла и неравенства Минковского. Сходимость может быть весьма экзотичной. Приведем пример последовательности непрерывных функций, которая в L^p_с сходится к 0 и при этом не сходится ни в одной точке интервала (0,1). Разобьем отрезок [0,1] на 3 равные части и обозначим через f₁(x) функцию, равную 0 в точках 0 и 1, равную 1 на отрезке [1/3, 2/3] и линейную на отрезках [0,1/3] и [2/3,1]. Затем разобьем отрезок на 4 равные части и обозначим через f₂(x) функцию, равную 0 на отрезке [3/4,1] и в точке 0, равную 1 на отрезке [1/4,1/2], линейную на отрезках [0,1/4] и [1/2,3/4] и через f₃(x) функцию, равную 0 на отрезке [0,1/4] и в точке 1, равную 1 на отрезке [1/2,3/4], линейную на отрезках [1/4,1/2] и [3/4,1]. Рекомендуется сделать рисунок. Продолжим подобное построение. При разбиении отрезка на п частей получим п – 2 новые функции, каждая из которых равна 1 на одном из внутренних промежутков, равна 0 на промежутках, с ним несмежных и линейная на смежных. Построенная последовательность обладает нужными странными свойствами (при любом p), в чем следует убедиться самостоятельно.

7. Пространства последовательностей l^p.

Элементами этого пространства являются последовательности х=(х₁,х₂,…,х_n,…) такие, что ряд сходится. Например, как следует из курса математического анализа, , но в то же время . Расстояние в l^p определяется по формуле

r_р(x,y)=.

7. Дискретные метрические пространства.

Рассмотрим произвольное множество и определим на нем расстояние таким образом, что r(x,y)=1, если x?y. В этом пространстве шар В(х, e) = В(х,1) (1 > e > 0) содержит только центр шара. Отсюда следует, что последовательность х_n сходится тогда и только тогда, когда начиная с некоторого номера ее члены совпадают.

1.