5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина

Определение 6. Последовательность функций { f_n(x)} на множестве Е сходится почти равномерно к функ­ции f(x), если для любого e > 0 найдется такое множество А_e ÎS меры m(А_e) < e, что последовательность сходится равномерно к функции f(x) на множестве Е\А_e.

Из почти равномерной сходимости следует сходимость почти всюду. В самом деле, возьмем в этом определении величину e = 1/n и соответствующие множества А_e =А_п меры m(А_n) < 1/п. Тогда, полагая А = , мы полу­чим m(A) = 0, при этом предел последовательности су­ществует и равен f(x) = limf_n(x) при всех х Î Е\А.

Теорема Егорова утверждает, что на множествах ко­нечной меры почти равномерная сходимость равносильна сходимости почти всюду.

Теорема 9 (теорема Егорова). Если m(Х) < ¥ и по­следовательность функций f_n(x) ® f(x) почти всюду на X, то f_n(x) сходится к f(x) почти равномерно на Х.

Доказательство. Из критерия сходимости почти всюду (теорема 3) следует, что для каждого т найдется такое п_m , что

.

Положим . Тогда .

Если теперь задано некоторое g > 0, то, выбирая натураль­ное т так, чтобы . получим, что при k > п_т справедливо неравенство: |f_k(x) – f(x)| £ 1/m < g для любого x ÎЕ_e, а это и требовалось установить.

Пример 1 последовательности функций показывает, что без условия конечности меры тео­рема Егорова, вообще говоря, неверна.

Следующая теорема Лузина устанавливает связь меж­ду свойствами измеримости и непрерывности функций. Рассмотрим измеримое пространство (R, S, m) меры Лебега на прямой R.

Определение 7. Говорят, что функция f: Е ® R обладает С-свойством на множестве Е Ì R, если для любого e > 0 найдется такое измеримое множество А_e ÎS с мерой m(A_e) < e, что на его дополнении Е \А_e функция f непрерывна.

Теорема 10 (Лузина). Предположим, что функция f определена на измеримом множестве Е Ì R. Тогда функция f измерима в том и только в том случае, когда она обладает С-свойством на множестве Е.

Необходимость. Обозначим через {I_k} систему всех интервалов на прямой R с рациональными концами. Эта система счетна, так что индекс k Î N.

В силу свойства измеримости множества f ^-1(I_k) Ì R для любого e > 0 существуют такое открытое G_k, и такое замкнутое F_k множества на прямой R, что выполняются следующие условия:

F_k Ì f ^-1(I_k) Ì G_k, m(G_k – F_k) < e/2^k.

Тогда измеримое множество А_e = имеет меру m(А_e) < e. Так как каждое из множеств (G_k – F_k) является открытым, как разность открытого и содержащегося в нем замкнутого множества, то множество А_e открыто. Так как справедливо равенство (докажите)

f ^-1(I_k) - А_e = G_kÇ(E - А_e),

то множество f ^-1(I_k) - А_e является открытым в E - А_e в индуцированной топологии. Поскольку любой интервал I Ì R является объединением интервалов с рациональными концами, то его прообраз f ^-1(I) также открытый в E - А_e. Следовательно, наша функция f непрерывна на множестве E - А_e.

Достаточность. Если функция обладает С-свойством на множестве Е, то для каждого kÎ N найдется такое измеримое множество А_k меры m(А_k) < 1/k, что на его дополнении Е\А_k функция будет непрерывной. Ясно, что множество А = - имеет меру нуль.

По условию непрерывности на E\A_k для любого ин­тервала I Ì R множество f ^-1(I) – А_k является открытым в Е\А_k. Поэтому найдется такое открытое множество G_k, что f ^-1(I) – А_k = G_kÇ(E – А_k). Отсюда множество

f ^-1(I) – А =

будет открытым и следовательно измеримым. Поэтому прообраз f ^-1(I) измерим, а значит и функция f измерима на множестве Е.

Задачи

1. Пусть (X, S, m) – измеримое пространство, множества А и А₁ из S, причем А₁ Ì А, а функция f (x) измерима на А. Доказать, что f (x) измерима на А₁.

2. Пусть (X, S, m) – измеримое пространство, множества А_i из S, а функция f (x) измерима на А_i при всех i. Доказать, что f (x) измерима на множестве .

3. Пусть (X, S, m) – измеримое пространство, множество А из S, - некоторое всюду плотное множество в R, а функция f : А ® RÈ{–¥}È{+¥} такова, что для каждого n множества S. Доказать, что функция f (x) измерима на А.

4. Пусть n ? 1 и G Ì R_n – открытое множество. Пусть также функция f (x) непрерывна на G. Доказать, что f (x) измерима на G относительно классической меры Лебега.

5.

6. Пусть (X, S, m) измеримое пространство с полной мерой m, АÎS, а функция f (x) измерима на А. Пусть g(x) – функция эквивалентная f (x) на А. Доказать, что g(x) – измеримая функция на А.

7. Пусть (X, S, m) измеримое пространство, АÎS, а функция f ³(x) измерима на А. Доказать, что f (x) также измерима на А.

8. Построить такую функцию f (x) на [0, 1], что f ²(x) измерима относительно меры Лебега на [0, 1], но f (x) неизмерима относительно этой меры.

9. Построить непрерывную неубывающую функцию j(х) на [0, 1], не являющуюся на этом отрезке постоянной, для которой j¢(х) = 0 почти всюду на [0, 1].

10. Пусть (X, S, m) – измеримое пространство, множество А из S, и – последовательность функций, измеримых на А. Доказать, что множество В = {x ÎA: существует } измеримо, и что функция измерима на В.

11. Пусть (X, S, m) – измеримое пространство, множество А из S, и - последовательность функций, измеримых на А. Доказать, что множество С = {x ÎA: существует конечный } измеримо, и что функция измерима на С.

12. Пусть (a, b) Ì R и f (x) Î С(a, b). Доказать, что множество А = {x Î(a, b): существует конечная f ¢(x)} измеримо относительно меры Лебега на (a, b) и что f ¢(x) измерима на А.

13. Пусть m(А) < ¥ и f_n(x) ? f (x) и g_n(x) ? g (x) при n ® ¥ на А, причем f (x) ? 0 на А и f_n(x) ? 0 на А при каждом n.

14. Построить функции и функцию f (x), конечные и измеримые относительно меры Лебега на R, для которых f_n(x) ? f (x) при n ® ¥ на R, но f_n²(x) не сходится по мере к f ²(x) при n ® ¥ на R.

15. Построить функции и функцию f (x), конечные и измеримые относительно меры Лебега на (0, ¥), для которых f_n(x) ? f (x) при n ® ¥ на (0, ¥), но не сходится по мере к при n ® ¥ на (0, ¥).

16. Пусть последовательность сходится по мере на множестве А. Доказать, что она фундаментальна по мере, т.е. для любых e > 0 и g > 0 существует такое N, что при n, m ? N выполнено неравенство

.

17. Пусть последовательность фундаментальна по мере на множестве А. Доказать, что существует такая конечная измеримая функция f (x) на А, что f_n(x) ? f (x) при n ® ¥ на А.

18. Доказать, что последовательность не сходится по мере на [0, p].

19. Доказать, что последовательность , где f_n(x) = xⁿ, сходится по мере на [0, 1], но не сходится по мере на [0, 2].

20. Доказать, что если f (x) имеет производную f ¢(x) во всех точках отрезка [a, b], то эта производная является измеримой функцией на отрезке [a, b].

21. Пусть последовательность сходится по мере на Е к функции f (x). Доказать, что если для всех n имеет место неравенство f_n(x) £ a почти всюду на Е, то f (x) £ a почти всюду на Е.

22. Пусть c – характеристическая функция множества рациональных чисел. Доказать, что функция f ?c измерима на R независимо от того, какова функция f .

23. Пусть f – измеримая на Е функция и Е₁ – произвольное измеримое множество на числовой прямой. Обязано ли множество f ^-1(E₁) быть измеримым?

24. Пусть f – непрерывная на R функция. Показать, что ее график имеет на плоскости нулевую меру.

25. Пусть f – монотонная на R функция. Показать, что ее график имеет на плоскости нулевую меру.

26. Пусть множество Е Ì [a, b] измеримо. Доказать, что функция f (x) = m(EÇ[x, b]) монотонна и непрерывна на [a, b].