2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
В этом пункте мы установим ряд свойств интеграла от ограниченной измеримой функции.
Теорема 3 (о среднем). Если измеримая функция f(x) на измеримом множестве Е удовлетворяет неравенствам a £ f(x) £ b, то a?m (E) £ 
£ b?m (E).
Доказательство. Если мы положим A = a, B = b в определении интеграла, то окажется, что A £ f(x) £ B, и суммы Лебега можно будет составлять, дробя отрезок [А, В]. Но если A £ yk £ B, то, очевидно,
A
£ 
£ B
или, что то же самое, a?m (E) £ s £ b?m(E),откуда и в пределе
a?m (E) £ £ b?m (E).
Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.
Следствие 1. Если функция f(x) постоянна на измеримом множестве Е и f(x) = с, то
= c? m(E).
Следствие 2. Если функция f(x) не отрицательна (не положительна), то таков же и ее интеграл.
Следствие 3. Если m (Е) = 0, то для любой ограниченной функции f(x), заданной на множестве Е, будет = 0.
Теорема 4 (полная или счетная аддитивность интеграла по области интегрирования). Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств E =
(EkÇEi = ?, k ? i ), то
=
Доказательство.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум Е = E1 + E2 (E1Ç E2 = ?. Если на множестве Е A £ f(x) £ B и мы, раздробив отрезок [А, В] точками у0, y1,¼ , уn, составим множества ek = E(yk £ f < yk+1), ek¢= E1(yk £ f < yk+1), ek¢¢= E2(yk £ f < yk+1), то, очевидно, будем иметь ek = ek¢ + ek¢¢ (ek¢Çek¢¢ = ?), откуда
=
+ 
и в пределе, при l ® 0,
= 
+ 
Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств. Остается рассмотреть случай, когда E = 
. В этом случае
= m (E),
так что при n ® ¥ в силу свойства непрерывности меры будет 
® 0. Заметив это, положим 
= Rn, причем m(Rn) ® 0 при n ® ¥.
= 
+ 
.
В силу теоремы о среднем A?m (Rn) £ 
£ B?m (Rn), а в силу стремления меры множества Rn к нулю с возрастанием n, ясно, что ® 0. Но это и означает, что
=
Из этой теоремы вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то =
.
Действительно, если H = Е(f ? g), G = E(f = g), то m(H) = 0 и 
= 
= 0.
На множестве же G обе функции тождественны и 
= 
. Остается сложить это равенство с предыдущим.
В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю.
Достаточно очевидно, что последнее утверждение необратимо. Например, если f(x) задана на отрезке [–1, +1], так:
то
=
+
= -1 + 1 = 0,
хотя функция f(x) и не эквивалентна нулю.
Однако справедливо
Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной измеримой ограниченной функции f(x) равен нулю (f(x) ? 0), то эта функция эквивалентна нулю.
В самом деле, легко видеть, что E(f > 0) = 
. Если бы f(x) не была эквивалентна нулю, то необходимо нашлось бы такое n0, что mE
= s > 0. Полагая A = E, B = Е - A, мы имели бы, что 
? 
s, 
? 0, и, складывая эти неравенства, мы получили бы ? s, что противоречит условию.
Теорема 5 (свойство аддитивности интеграла). Если на измеримом множестве E заданы две измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), то
= 
+ 
.
Доказательство. Следующие неравенства достаточно очевидны:
d(a, f ) + d(a, g ) £ d(a, f + g ) £ D(a, f + g ) £ D(a, f ) + D(a, g ).
В силу следствия теоремы 1 крайние члены этих неравенств можно сделать сколько угодно близкими. Последнее предельным переходом приводит к необходимым равенствам.
Теорема 6 (свойство однородности интеграла). Если на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x) и с есть конечная постоянная, то
= c.
Доказательство. Утверждение очевидно при с = 0.
Пусть c > 0 и А £ f(x) £ B. Разбиваем отрезок [A, B] и вводим множества ek. В силу теоремы о полной аддитивности по области интегрирования получаем
.
Но на множестве ek функция f(x) удовлетворяет неравенствам сyk £ f(x) < cyk + 1, так что в силу теоремы о среднем
.
Сложив все такие неравенства, получим
,
где s и S – интегральные суммы Лебега функции f(x). Нужное равенство получается предельным переходом в этих неравенствах и из теоремы 2.
Пусть, наконец, c < 0. Тогда
,
откуда следует теорема.
Следствие. Если f(x) и F(х) измеримы и ограничены на множестве Е, то
= 
–.
Теорема 7. Пусть f(x) и F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если f(x) £ F(x), то
£ .
Теорема 8. Если функция f(x) измерима и ограничена на измеримом множестве E, то
£ 
Теоремы доказываются стандартно, как соответствующие неравенства для интеграла Римана.