Непрерывные отображения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Пусть Х, Y – метрическое пространство. Отображение f: Х®Y называется непрерывным в точке aÎХ, если из того, что хn®a следует, что f(хn)® f(a).
Отображение называется непрерывным на Х, если оно непрерывно во всех точках Х.ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Для того чтобы отображение было непрерывным на Х, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого открытого подмножества Y было открытым подмножеством Х.
Аналогично, отображение является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз всякого замкнутого множества является замкнутым. При этом образ открытого множества при непрерывном отображении может не быть открытым, а образ замкнутого множества замкнутым. Например, образом открытого множества (-1,1) при отображении y = x2 является множество [0,1), которое открытым не является.
Из того, что образ всякого открытого множества открыт, не следует непрерывность отображения. Например, рассмотрим отображение f отрезка [-1,1] в двухточечное дискретное пространство {a,b} (п. 3.3), действующее по правилу f[-1,0] = {a}, f(0,1] = {b}. Поскольку в дискретном пространстве любое множество является открытым, то образ любого открытого множества открытый. Непрерывным отображение не является, поскольку 1/n®0, но неверно, что f(1/n) = b®f(0) = a.
Cуперпозиция непрерывных отображений является непрерывным отображением. При этом если у непрерывного отображения существует обратное, то оно не обязано быть непрерывным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Отображение f: Х®Y называется топологическим или гомеоморфизмом, если оно непрерывное, биективное и обратное отображение также непрерывное.
3.