Линейные операторы
Пусть X,Y – линейные нормированные пространства. Понятие линейного оператора А: X®Y означает справедливость тождеств А(x1+x2) = А(x1) + А(x2), А(lx) = lА(x).
Нас будут интересовать непрерывные линейные операторы. Их множество будем обозначать символом L(X,Y). В этом пункте в частности будет установлено, что L(X,Y) можно наделить структурой линейного нормированного пространства. Приведем несколько примеров.1. Рассмотрим квадратную матрицу А = (аij) (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n). Рассмотрим отображение А: 
®, действующее по правилу А(х1,…,хn) = 
. Из свойств матриц и векторов следует линейность оператора А. Напомним что сходимость в пространстве покоординатная, т.е. х(n)®х(0), если 
при i=1,…,n. Отсюда следует, что А(х(n)) ® А(х(0)), т.е. оператор А непрерывный. Обратно, любое линейное отображение А: ® порождается некоторой матрицей А и автоматически является непрерывным.
2. Пусть K(t,s) -функция, непрерывная на квадрате 0 £ t £ 1, 0 £ s £ 1. Сопоставим функции х(t) ÎC функцию y(s) =
Функция y(s) непрерывная, т.е. y(s) ÎC. Тем самым определен оператор A: C®C. Его линейность следует из свойств интеграла. Далее, если r(х1,х2) = maxçх1(t)- х2(t)ç