Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Пусть Х, Y - линейные нормированные пространства. Отображение А: Х®Y называется линейным (синоним: линейным оператором), если А(х1+х2) = А(х1) + А(х2), А(lх) = lА(х).
Линейный оператор А называется изоморфизмом, если у него существует обратный и отображения А и А-1 непрерывные. Пространства Х, Y называются изоморфными, если существует изоморфизм А: Х®Y.Очевидно, что отношение изоморфизма линейных нормированных пространств является отношением эквивалентности, т.е. обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Изоморфизм сохраняет замкнутость и открытость множеств как взаимно непрерывное отображение и компактность. В общем случае при непрерывных отображениях не сохраняется ограниченность множеств (например, функция 1/x переводит ограниченное множество (0,1] в неограниченное [1,¥)).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 14. Если А: Х®Y линейное непрерывное отображение и МÌХ – ограниченное множество, то множество А(М) также ограниченное.
ТЕОРЕМА 7. Любые два n – мерных линейных нормированных пространства изоморфны.
Из этой теоремы вытекают важные следствия. Поскольку пространство 
полное, то в силу изоморфизма (он сохраняет сходимость) этим свойством обладает и всякое конечномерное линейное нормированное пространство. А отсюда следует, что конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве является замкнутым, т. е. подпространством. Для бесконечномерных многообразий это не так.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Метрические пространства Х, Y называются изометричными, если существует биективное отображение f: Х®Y, сохраняющее расстояния, т.е. такое, что r(x,y) = r(f(x), f(y)) (изометрия). Линейные нормированные пространства называются изометричными, если существует изоморфизм линейных пространств, сохраняющий нормы векторов (а тогда и расстояния). Такой изоморфизм называется изометрией.
Заключение теоремы 6 при замене изоморфизма на изометрию не выполняется. Например, пространства 
не изометричны при различных р.