Гильбертовы пространства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19. Пусть Х – линейное пространство и каждой паре векторов из Х сопоставлено вещественное число (скалярное произведение (x,y)), удовлетворяющее следующим условиям:
- симметричность (x,y) = (y,x);
- ассоциативность по сложению(x1 + x2,y) = (x1,y) + (x2,y);
- ассоциативность по умножению на скаляры (lx,y) = l(x,y);
- неотрицательность (x,x) ? 0, причем равенство (x,x) = 0 выполняется только при x = 0.
Такое пространство называется пространством со скалярным произведением.ПРЕДЛОЖЕНИЕ 15 (Неравенство Коши-Буняковского). Для скалярного произведения справедливо неравенство (x,y)2 £ (x,х)(y,y).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 16. Величина 
является нормой в пространстве со скалярным произведением.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 17. В пространстве со скалярным произведением выполняется следующее тождество: ||x + y||2 + ||x - y||2 = 2||x||2 + 2||y||2. Это известное из школьной геометрии свойство параллелограмма: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин его сторон. Справедливо и обратное утверждение: если норма удовлетворяет неравенству параллелограмма, то формулой (x, y) = (||x + y||2 - ||x||2 - ||y||2)/2 определено скалярное произведение.
Из предложения 17 легко следует, что пространство С не является пространством со скалярным произведением. Рассмотрим функции х(t) = t, y(t) = 1-t. Тогда х(t) + y(t) = 1, х(t) - y(t) = 2t-1. По определению нормы в пространстве С, ||x|| = ||y|| = ||x + y|| = ||x - y||=1, т.е. равенство из предложения 17 нарушено.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Бесконечномерное линейное пространство со скалярным произведением, полное относительно соответствующей нормы, называется гильбертовым (по имени одного из крупнейших математиков 20 века Давида Гильберта).
Гильбертово пространство будем обозначать символом Н.Из пространств, рассмотренных выше, гильбертовым является пространство l2 (со скалярным произведением 
, необходимо доказать, что ряд сходится).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 18. Если в пространстве со скалярным произведением xn ® x, yn ® y, то (xn,yn) ® (x,y).
Угол jÎ[0,p] между векторами x,y определим по формуле 
. Из неравенства Коши-Буняковского следует, что правая часть этого равенства по модулю не превосходит 1, т.е. угол всегда определен. В частности, векторы ортогональны, если j=p/2, т.е. (x,y)=0. Обозначение x^y Если L – линейное многообразие, то вектор x ортогонален L, если он ортогонален любому вектору из L. Обозначение x^L.
ТЕОРЕМА 11. Пусть L – подпространство гильбертова пространства Н. Любой вектор xÎН можно единственным образом представить в виде y + z, где y ÎL, z^L. Вектор y называется проекцией x на подпространство L.
Элемент y называется проекцией вектора x на подпространство L. Множество векторов, ортогональных L, является линейным подпространством. Это подпространство L1 называется ортогональным дополнением L и обозначается L^, а пространство Н называется прямой суммой подпространств L и L^ (обозначение Н=LAL^).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Бесконечное семейство векторов называется линейно независимым, если таковым является любое его конечное подсемейство. Среди линейно независимых семейств в гильбертовом пространстве выделяются ортонормальные семейства. Так называется система векторов (a1, a2, …, an,…), у которой (ai,aj) = 0 при i ? j и (ai, ai) = 1 при всех i.
По любой системе векторов (f1,f2,…,fn,…) в гильбертовом пространстве можно построить ортонормальную систему (a1, a2, …, an,…) с помощью следующей конструкции.
Для простоты положим f1?0. Вектор a1=l1 f1. Вектор a2 есть линейная комбинация векторов f1, fn1, где вектора f1, fn1 линейно независимы, а вектора f1,f2,…,fn1-1 линейно зависимы при n1>2. Вектор a3 есть линейная комбинация векторов f1, fn1, fn2 (n2>n1), если векторы f1, fn1, fn2 линейно независимы, а векторы f1, fn1, fn1+1,…, fn2-1 линейно зависимы при n2>n1+1, … .ТЕОРЕМА 12. Всякое гильбертово пространство, в котором существует всюду плотная последовательность элементов (f1,f2,…,fn,…) (такие пространства называются сепарабельными), изометрично пространству l2.
Таким образом, фактически существует только одно гильбертово пространство с всюду плотной последовательностью элементов.