§ 2. Старый споръ между эмпиризмомъ и у ч е н і е м ъ о врожденны хъ идеях ъ.
Этого рода противоречие, присущее математике по самой ея природе, вызвало въ сущности всЄ тЄ философскіе споры — а они очень многочисленны —, которые имЄють своимъ предметомъ математическія науки: въ частности старый и почти заглохшій вопросъ объ эмпиризме и ученій о врожденныхъ идеяхъ или апріоризме.
Самымъ непріятньїмь вопросомъ для философіи математики былъ долгое время вопросъ о томъ, вытекаетъ ли математика изъ опыта, изъ наблюденія надъ вещами, которыя мы видимъ и осязаемъ, или наоборотъ, она независима отъ всякаго опыта и была изобретена единственно силой духа.
Спрашивается, почему бы вытекать математике изъ опыта, математике, которая, какъ мы только что указали, стоить очень далеко не только отъ видимыхъ и осязаемыхъ вещей, но даже отъ вещей, которыя могутъ быть воображаемы?
И не кажется ли, что все свидетельствуетъ о противномъ: чисто логическій процессъ всякаго математическаго разсужде- нія, безполезность всякихъ отношеній къ внешнему міру, обращеніе съ дЄлєніями, произвольными до того, что они переходять за пределы даже воображаемаго міра ? Математическія науки — науки, врожденныя въ томъ смысле, что чєловЄчєскій разумъ одинъ можетъ создать предметъ ихъ и науку объ этомъ предмете. ОнЄ — науки апріористическія въ томъ смысле, что могутъ развиваться раньше всякаго наблюденія надъ фактами и независимо отъ послЄдняго.
Но съ другой стороны столь же легко развить доводы въ пользу противоположнаго взгляда. Стоить только подумать объ услугахъ, которыя математическія науки Оказы- ваютъ механике, физике, практической жизни. Математиками являются инженеры, землемЄрьі, даже топографы; физики заполняютъ свои произведенія математикой, причемъ той именно математикой, которая кажется наиболЄе отдаленной отъ всякой воображаемой вещи. Мы считаемъ наши деньги, зємлєдЄлєць измЄряегь свой урожай, торговець взвЄши- ваетъ свои товары: вєздЄ математика.
Но если она до такой степени близко входить въ наши отношенія къ матеріаль- нымъ вещамъ, то какъ можемъ мы сказать, что она независима отъ нихъ, что она была изобретена внЄ ихъ ! Чтобы примениться такъ ко всемъ предметамъ нашего опыта, не надо ли было ей изъ этого опыта родиться ?Въ настоящее время споръ этотъ, который приводилъ въ столкновеніе столькихъ философовъ, кажется большинству совершенно празднымъ. Почти всЄ сходятся на признаній того, что во всякомъ знаній имЄєтся сторона априористическая и сторона эмпирическая. Само понятіе „апріори" не иміеть уже того догматическаго значенія, какое оно имЄло когда-то. Во всякомъ знаній признають опытъ и при- бавленіе къ опыту со стороны духа, а именно толкованіе опыта. Эти два элемента встречаются въ самыхъ разнообраз- ныхъ пропоршяхъ: первый, преобладая въ физике, стремится ограничить второй по M-ЄрЄ того, какъ гипотезы оправдываются и неизвестное уступаетъ мЄсто познанному. Но разве полное устраненіе гипотезы не является преді- ломъ недостижимымъ ? Второй элементъ преобладаетъ въ математике и, быть можетъ, также стремится ограничить первый по мірі того, какъ надъ указаніями опыта разумъ возводитъ надстройки, все боліє и боліє отдаленныя. Не является ли и тутъ недостижимымъ пред^омъ полное устраненіе эмпирическаго элемента ? Математикъ — разсуждаютъ раціоналистьі — могъ бы продолжать накопленіе богатствъ своей науки даже въ томъ случаі, если бы матеріальньїй м!ръ былъ вдругъ уничтоженъ. Да, это вірно, если бы матеріальньїй м1ръ былъ уничтоженъ теперь; но могъ ли бы онъ создать математику, если бы матеріальнаго міра не существовало никогда ? Въ этомъ-то весь вопросъ. А неліпость этого послідняго предположенія доказываетъ, что мы столь же мало можемъ мыслить разумъ вні существованія всего матеріальнаго міра, какъ мало можетъ птица летать въ пустоті.
Дві вещи можно, повидимому, признать окончательно установленными. — Съ одной стороны, опытъ, по крайней мірі случайный, былъ необходимъ для созданія математики.
Разумъ нельзя, быть можетъ, мыслить, если отділить его отъ его среды. Разумъ представляетъ собой лишь резуль- татъ отвлеченія, искусственно вьідЄлившаго часть изъ цЄлаго, которое въ действительности неделимо, и это цЄлоє есть сразу опытъ и разумъ.—Съ другой стороны, математическія понятія не суть естественные предметы, даже исправленные, какъ это думаетъ грубый эмпиризмъ: прямая линія не есть протянутая нить, толщина которой постепенно забывается; цилиндръ не есть стволъ дерева, всЄ шероховатости котораго мысленно устранены. НЄть, не самые матерьяльные предметы, а извЄстньія отношенія между ними натолкнули мысль на изобрЄтеніе математики: отношенія единичныхъ предметовъ къ совокупности предметовъ (ариеметическія отношенія) и отношенія положенія, расположенія и разстоянія (отношенія геометрическія).Математическія науки изучали эти отношенія, подвергая ихъ все болЄе и болЄе глубокому анализу. Путемъ такого анализа онЄ пришли къ представленію о новыхъ отноше- ніяхь, не являющихся непосредственными отношєніями мате- ріальньїхь предметовъ и обладающихъ свойствами весьма далекими отъ реальнаго міра. СлЄдовательно, эти отношенія едва можно себе вообразить, но разумъ можетъ оперировать съ ними при помощи спеціальньїхь символовъ.