§ 1. Предмет© математическихъ наукъ.
Свойства, изучаемыя математическими науками, встречаются въ матер!альныхъ предметахъ. Въ самомъ дЄлЄ, эти послЄдніє представляютъ изъ себя отдЄльньія единицы, кото- рыя, собираясь, образуютъ боліє или меніе значительное множество.
Точно такъ же матеріальньїе предметы или ихъ части обладаютъ протяженіями, поверхностями, объемами, которые математика старается определить. Наконеиъ математика находитъ себе постоянную работу и приміненіе, въ связи съ матеріальньїми объектами, въ наукахъ и искусствахъ, имеющихъ отношеніе къ матерій.И темъ не меніе, ничто не будетъ такъ оспариваться, ничто не вызоветъ такого удивленія даже въ настоящее время, какъ утвержденіе: „математика представляетъ собой науку о матерій". Нельзя давать такого опреділенія матема- тикі, если мы желаемъ, чтобы оно было принято всЄми.
ДЄло въ томъ, что хотя—и въ этомъ нетрудно убедиться при помощи простого наблюденія — математическими на-
уками действительно пользуются при всЄхь изслЄдованіяхь, касающихся матерій, — тЄмь не мєнЄє чистому математику до последней нЄть решительно никакого дела. Онъ никогда не разсматриваетъ ее явнымъ образомъ. И если вдуматься въ это, то мы увидимъ, что то, чЄмь занимаются математики, можно встретить не только въ матер'юльныхъ предметахъ или въ ихъ отношеніяхь между собой. Предположимъ на минуту—только на минуту, ибо предположеніе это абсурдно—, что матеріальнаго міра не существуетъ совсЄмь, но мы тЄмь не мєнЄє продолжаемъ существовать; повидимому, мы въ такомъ случае вполнЄ могли бы мыслить, определить въ этомъ свободномъ отъ всякой матерій м!рЄ прямую линію, кривую, уголъ, треугольникъ, окружность, перпендикуляръ, параллельныя линіи и т. д. и даже образовать представле- нія о поверхности и объеме. Мы нарочно взяли наши примеры изъ геометрій, такъ какъ она кажется гораздо ближе къ матерій, чЄмь ариеметика и особенно алгебра. Но сразу видно, что въ этой абсолютной пустоте легче было бы составить себЄ представленіе о положительныхъ или отрица- тельныхъ числахъ, а еще легче — объ операціяхь надъ числами, объ одночленахъ и многочленахъ, о функціяхь и т. д. РазвЄ высшая математика не вращается цЄликомь въ міре абстракцій, или, болЄе точно, въ міре произвольныхъ опре- дЄлєній, которыя, съ перваго взгляда, не имЄють никакого касательства къ міру реальнаго ? Мы приходимъ тамъ къ воображаемому, которое нельзя даже вообразить — въ точномъ смысле слова. Правда, что математическія науки не имЄють своимъ непосредственнымъ предметомъ изучєнія матерій, но не мєнЄє вЄрно и то, что онЄ могутъ применяться къ изученію матерій.