4. Многомерный и маломерный хаос. “Истинный” хаос
Открытие детерминированного хаоса поведения поставило нас еще перед одним вопросом. Теперь, когда известны два вида непредсказуемого поведения реальных систем, детерминированное хаотическое и шумы, т.е.
беспорядочное поведение системы с очень большим числом степеней свободы, какое из них считать "настоящим", "истинным" хаосом? Для того, чтобы определить это, необходимо выбрать несколько характерных особенностей, присущих неупорядоченным движениям вообще, и сравнить их.Если сравнивать только количественные характеристики, такие как спектр, автокорреляционную функцию и т.д., то по ним детерминированный хаос, безусловно проигрывает шумам, поскольку может содержать в себе следы родивших его периодических движений. Спектр шумов гораздо более гладкий, а реализация совершенно беспорядочная, в то время как спектр детерминированных хаотических движений может содержать "пики" на некоторых частотах, а реализация – участки, напоминающие о периодичности. Но уж в чем детерминированный хаос выигрывает с огромным преимуществом, так это в амплитудах и мощностях движения. Уровень спектров детерминированного хаоса может превышать уровень шума в сотни раз! Детерминированный хаос оказывается несравненно сильнее стохастичности. Однако в предыдущем разделе мы показали, что никакие количественные критерии не являются определяющими для доказательства хаотичности движения, хаос является качественной категорией. Поэтому сравнение спектральных и энергетических характеристик двух видов нерегулярных движений хотя и интересно, но не является определяющим.
Попробуем сравнить эти движения по их непредсказуемости. Это качество хаотических движений тесно связано со способом их описания. Как уже говорилось выше, в настоящее время хаотические режимы в системах с малым и большим числом степеней свободы описываются совершенно по-разному.
В самом деле, если число степеней свободы велико, то ее принято описывать статистически, т. е. определять ее средние характеристики. Например, для ансамбля частиц можно определить среднюю длину пробега, но практически невозможно координаты отдельной частицы. Речь идет именно о практической, а не о принципиальной невозможности, потому что в принципе возможно решить систему большого числа уравнений и определить координаты любой частицы ансамбля. Все упирается в то, что решать системы с большим числом дифференциальных уравнений чрезвычайно сложно, даже если точно известны начальные условия. В случае же статистического ансамбля частиц, скажем, молекул газа, число частиц очень велико, а определить точные начальные условия практически невозможно. Невозможность предсказания поведения каждой отдельной частицы ансамбля является в данном случае результатом нашего незнания и неумения: мы не знаем эффективных и быстрых алгоритмов решения систем дифференциальных уравнений и не умеем точно определять начальные условия частиц. В самом деле, число частиц в ансамбле хотя и велико, но конечно, между столкновениями они движутся прямолинейно и равномерно по траекториям, определяемым уравнениями Ньютона, в принципе ничто не мешает нам решить эту задачу! Если число частиц достаточно велико, то их скорости, координаты и другие характеристики принимают все возможные значения из некоторого интервала. т.е. оказываются равнораспределенными. Исторически сложилось так, что именно такое движение в физике принято считать "истинно" хаотическим, оно называется также “белым” шумом. В качестве другого "истинно" хаотического движения выступает турбулентное движение жидкости, которое принято описывать как движение системы с бесконечным числом степеней свободы. Представляется, что в том и другом случае непредсказуемость движения связана с несовершенством и неполнотой нашего математического знания.В случае нелинейных систем с малым числом степеней свободы мы имеем дело с детерминированным хаосом.
В таких системах хаотизация движения органически связана с собственной сложной динамикой системы, а не со сложностью статистического описания. Динамические системы "рождают" хаос сами, это их внутреннее свойство. Мы умеем адекватно описывать движение таких систем, умеем решать соответствующие уравнения. Детерминированный хаос возникает не из-за нашего неумения или незнания, а скорее вопреки нашему углубившемуся знанию. О непредсказуемости таких систем речь шла выше. Эта непредсказуемость гораздо более многообразна, она приводит не только к невозможности точно определить состояние системы, т.е. вычислить координаты в фазовом пространстве, но и к тому, что мы не всегда можем определить даже характер будущего движения, а стало быть и предсказать его средние характеристики. Вспомним, что для статистических ансамблей средние характеристики можно вычислить всегда. С этой точки зрения именно детерминированный хаос следует называть истинным. Хаотичность детерминированного хаоса принципиально неустранима, в отличии от хаотичности движения ансамбля частиц, которая устраняется при использовании мощного компьютера. Используя такой компьютер, мы можем решить систему даже очень большого числа уравнений и однозначно определить координаты и скорости каждой точки, получив при этом динамическую, а не статистическую картину движения, ведь усреднение больше не требуется. Эта позиция в корне отличается от позиции некоторых ученых, которые до сих пор, несмотря на необыкновенный прогресс нелинейной динамики в последние десятилетия, считают детерминированный хаос результатом ошибок численного моделирования, и признают в качестве истинно хаотических только шумы.Более того, движение системы со многими степенями свободы, например того же ансамбля частиц газа, становится принципиально непредсказуемым только после введения в уравнения движения членов, отвечающих за столкновения. В этом случае уравнения становятся нелинейными, а хаотичность их динамики начинает определяться именно нелинейностью, а не числом степеней свободы.
Конечно, большое число степеней свободы усложняет динамику системы, но не оно является определяющим при хаотизации. В качестве примера можно предложить систему, поведение которой описывается пятнадцатью линейными уравнениями, и нелинейный осциллятор Дуффинга. Поведение первой системы полностью определено и предсказуемо, хотя решение получить довольно сложно, поведение осциллятора Дуффинга в широкой области параметров хаотическое и непредсказуемое именно в силу нелинейности системы и собственной сложной динамики.Рассмотрим теперь ситуацию, когда число степеней свободы бесконечно. В этом случае мы имеем дело со сплошной средой, например, жидкостью. Такие системы, как правило, являются нелинейными, и допускают разные решения, от регулярных, соответствующих ламинарным течениям, до хаотических, соответствующих турбулентной жидкости. Классическими примерами турбулентности являются виденные всеми след за движущимся судном или клубы дыма, поднимающегося из трубы. Долгое время считалось, что в процессе возникновения турбулентности в движение должны последовательно вовлекаться все новые и новые степени свободы. Такой путь развития турбулентности в свое время был предложен Ландау [29]. Результирующее хаотическое движение является очень сложным и должно обладать бесконечной размерностью. Однако вскоре после открытия детерминированных хаотических движений появилась надежда, и некоторые численные эксперименты ее подтверждают, что многие бесконечномерные системы обладают хаотическими аттракторами небольшой размерности, т.е. хаотизация движения наступает после того, как в движение включаются всего несколько степеней свободы[30]. Если дело обстоит именно так, то и в этом случае число степеней свободы оказывается менее важным для хаотизации, чем нелинейность, определяющая сложный характер движения. Разница в сложных движениях систем с различным числом степеней свободы оказывается меньшей, чем у систем с разными нелинейностями.
Пока мы говорили только о таком свойстве хаотических движений, как их непредсказуемость.
Вспомним, что всегда, начиная с глубокой древности, хаос воспринимался и определялся как животворящее начало, как нечто, из чего возникает порядок. Поговорим о способности рождать порядок. Именно это свойство и определяет особенности детерминированного хаоса: в нем постоянно возникают некие упорядоченные структуры. Это происходит, например, когда при изменении параметра в динамической системе хаотическое движение сменяется регулярным. В то время как никто и никогда не видел, как в ансамбле частиц газа, описываемых статистическими уравнениями, вдруг возникло бы упорядоченное направленное движение, например, все частицы газа стали двигаться только с запада на восток. Ситуации же, когда в турбулентных потоках газа или жидкости возникают упорядоченные течения, описываются только в рамках динамических, хотя и бесконечномерных уравнений Навье – Стокса, все возможные режимы которых предсказываются нелинейной динамикой. Получается, что и другое неотъемлемое свойство хаоса – рождать порядок – присуще только детерминированному хаосу.Все вышесказанное означает, что детерминированный хаос
1) гораздо сильнее привычного шума по уровню, по амплитуде;
2) непредсказуемее его;
3) рождает порядок.
А это означает, что только он с полным правом может претендовать на роль истинного хаоса, того Хаоса, из которого, по издревле существующим представлениям, родилось все сущее.
Итак, открытие детерминированного хаоса заставляет пересмотреть существовавший до последнего времени взгляд на то, что "истинно" хаотическими являются движения в системах с очень большим или бесконечным числом степеней свободы. Вполне возможно, что через некоторое время общепризнанным станет факт, что детерминированный хаос и есть "настоящий", "истинный" хаос.