Как можно сэкономить время
Сокращение часов на изучение математики в школе побудило меня искать более рациональные способы решения многих типов задач, вывод новых формул, позволяющих решать задачи более коротким путем.
Наиболее удачно это получилось при изучении тем «Прогрессии» и «Логарифмы». Так, при изучении темы «Арифметическая прогрессия» (§ 28 учебника Ш.А. Алимова) после вывода формулы n-ого члена арифметической прогрессии рассматривается задача 4:В арифметической прогрессии а8=130, ai2=166. Найти формулу п-ого члена.
Решение (е учебнике):
Используя формулу an= ai+(n-l)d, находим а8== ai+7d, ai2= =ai+lld. Подставив данные значения as и ai2, получим систему уравнений относительно ai и d:
Jai+7d=130,
ld=166. (1) Вычитая из второго уравнения первое, получим 4d=36, d=9
ит. д.
Для нахождения d пришлось решать систему уравнений (1). Записав эту систему так: ai+7d=as, ai+lld= an
и проделав то же самое, получим: ai2 - a8=4d или ai2= a8+4d, подметив, что 8+4=12, приходим к формуле
am= an+(m-n)d, (2)
которая позволяет найти d в задаче 4 более простым путем.
Наше решение: ai?= a8+4d, 4d= ai2- a8, т. к. ai2=166, a8=130, то 4d= 36, d=4.
Аналогичную формулу вывели и для геометрической прогрессии:
bm=bn*gm-n,bn*0,g^0, (3)
которая позволяет решить задачу 4* из § 30 более простым путем.
В геометрической прогрессии Ьб=96, Ь8=384. Найти формулу п-ого члена.
b8= b6*g2; g2= b8/ b6; g2= 384/ 96; g2= 4; т. e. g=±2 и т. д. Если из формул (2) и (3) выразить d и g , то получатся формулы, которые легко можно запомнить и сразу применить их при решении разобранных задач:
d=(am-an)/(m-n) (4)
и
gm"n=bm/bn; (5)
т. е. d= (а12- а8)/4 и g2= Ь8/ Ь6.
При изучении темы «Логарифмы» в тексте § 15 (Ш.А. Алимов, 10 кл.) решается задача 3. Вычислить log64l28. В учебнике эта задача решается так:
Обозначим log64128=x.
По определению логарифма 64х=128. Так как 64=2б, 128=27, то 26х=27, 6х=7, х=7/6.После изучения свойств логарифма logaBp=plogaB, где в>0, а>0, а,Ф\, peR.
(*) logy B=l/rlogaB, а>0, аФІ, в>0, гФІ.
Возвращаемся к этой задаче и решаем ее так: log64128=log , 27=7/6 log22=7/6; приходим к формуле
гр
loga, ap=p/r, а>0, аФІ, peR, ГФО, (6)
которая легко доказывается с использованием свойств (*). Каждую формулу учу видеть слева направо и справа налево, например: logaBp=plogaB, то plogaB= logaBp.
Кроме формулы (6), рассматриваем еще формулы, некоторых из них нет в учебнике:
loga, Bp=p/rlog ав, в>0, а>0, аФІ, meR, пФО, (7)
logaap=p, тогдар= logaap, а>0, аФІ, peR, (8)
logaB= logcB/ logca, то logcB/ logca= logaB, c>0,c^l, a>0, a^l, в>0, (9)
logaB=l/ logBa, тогда 1/ logBa= logaB и logaB* logBa=l, a>0, a^l, в>0, в*1, (10)
log Bn= logaB, тогда logaB=log вп, a>0, a^l, в>0, n^l, (11)
an a11
aA( logcB)=BA( logca) a>0, a* 1, в>0, вФ 1, c>0, ct 1, (12)
которая легко доказывается логарифмированием обеих частей по основанию с.
ПРИМЕРЫ:
Вычислить 2 log23/ log49=2 log23/ log 1 32=21og23/log23=2
2
Решить уравнение log3x=91og278-3 log34 log3X=91og32-31og34
log3x=91og32-61og32
log3x=31og32
log3x=log38
x=8
3. log4x-logi6x=l/4; x>0
log 16x2-log 16x= 1 /4; log16x=l/4; x= 161/4=2.
Задания для самостоятельной работы
Предложите более рациональные способы решения известных вам задач.
Можно ли экономить учебное время за счет рационали-зации решения задач на уроках химии, физики, биологии, истории?
В чем смысл экономии учебного времени, как можно использовать сэкономленное время?
Г.Е. Гурова