1. Хаос: от интуитивных представлений до математического описания
Прежде чем перейти к поискам ответов на поставленные выше вопросы, попробуем сначала разобраться, что в современной науке понимается под словом "хаос", и как это понятие сформировалось.
Обратимся сначала к истории развития представлений о хаосе в человеческом сознании. Несмотря на различные представления о хаосе в разные времена и в разных областях человеческого знания, хаос, как правило, допускал только феноменологическое описание, то есть описание на основе неких общих представлений и идей, независимо от физической природы описываемых систем, а попытки описать его в рамках некой конкретной модели приводили к тому, что хаос низводился до большого числа регулярных движений. Представления о хаосе всегда имели очень личностную, субъективную окраску, сильно меняющуюся со временем.У древних греков хаос отождествлялся с космогоническим понятием “зияющего” пространства (от греч. ??????? - зиять), существовавшего раньше мироздания [5]. По учению орфиков хаос возник из безначального времени, причем под хаосом понимали глубокую бездну, в которой обитали ночь и туман; под действием времени туман хаоса принял яйцеобразную форму, а затем раскололся, породив небо и землю. Стоики видели в хаосе водную стихию (от греч. ??? - лью), состояние, возникающее после уничтожения земли огнем. Хаос понимался как беспорядочное, но животворящее начало, существовавшее до мироздания. Под хаосом понимали воздушное и туманное мировое пространство, помещенное между небом и землей. Долгое время это понятие, безусловно, было положительно окрашено.
Интуитивно под хаосом понимали исходное состояние мира, давшее начало основным сущностям. В древней космогонии порождениями хаоса считались Ночь, Эрот и Мойры. Ночь всегда считалась олицетворением пространства, Эрот – олицетворением любви, природы и рождения, Мойры – олицетворением трех ипостасей судьбы: ее спокойного и неуклонного действия, ее случайностей, ее неотвратимости и необходимости, а также олицетворением закономерности и порядка в мире внешних и духовных явлений.
Далее мы убедимся, насколько символичен этот миф, насколько древние представление о рождении порядка и жизни из хаоса предвосхитили результаты современной науки.В древневосточной философии, в частности, в даосизме, хаос ассоциировался со структурами, вложенными в структуры, вихрями, вложенными в вихри [6], тем самым хаосу приписывалась определенная упорядоченность и удивительным образом предвосхищались полученные лишь в конце двадцатого столетья идеи о фрактальной структуре динамического хаоса.
Со временем понятие хаоса трансформируется, принимая все более негативную окраску. Овидий в "Метаморфозах" описывает хаос как “грубую беспорядочную громаду, недвижную тяжесть, собранные в одно место разнородные начала дурно соединенных стихий”[7]. Под хаосом стали понимать наполненную мраком подземную безграничную бездну. Такое мрачное, негативное представление о хаосе сохранилось практически до наших дней.
На долгое время в человеческом сознании хаос стал синонимом абсолютного беспорядка, даже разрушения. С ним связывали понятие совершенно непредсказуемого, неуправляемого состояния или процесса, преобладание случая над порядком и разумом. Однако представление о хаосе всегда оставались двойственным. Всегда наряду с беспорядком под ним подразумевалось и начало всех начал, из которого впоследствии возникает упорядоченный мир. Интересно, что такое представление о хаосе сохранилось до сих пор. Современные западные энциклопедические словари приводят два значения этого слова: 1) абсолютный беспорядок; 2) первоначальное неразвитое состояние Вселенной [8].
За несколько тысячелетий понятие “хаос” выросло от некоторого смутного, интуитивного представления до общенаучной категории, а затем и до новой парадигмы современной науки. В науке до недавнего времени под хаосом понимали состояние системы, характеризующееся полным отсутствием порядка, как пространственного, так и временного, причем понятие порядка было аксиоматическим, т.е. не определялось.
В физике хаос стал динамическим понятием, трансформировавшись от хаоса конфигураций до хаоса движений. Это означает, что хаотически те или иные величины меняются во времени, т.е. мы имеем дело с хаотическими процессами развития различных физических систем.Проблема исследования и описания хаотических движений возникла в середине прошлого века в гидродинамике, когда между теоретической гидродинамикой с ее уравнениями Навье - Стокса и прикладными задачами о течениях жидкостей и газов возник ряд противоречий. Первую попытку примирить классическую физику с существованием хаотических движений сделал Рейнольдс, введя свое знаменитое число и связав его большие значения с турбулентными, хаотическими а малые - с ламинарными, упорядоченными течениями жидкостей [9]. В начале двадцатого века для описания хаотических, случайных движений большого ансамбля частиц, например частиц газа, Больцманом, Гиббсом и Эйнштейном была создана специальная наука - статистическая физика. С тех пор истинно хаотическими процессами стали считаться броуновское движение молекул и турбулентное течение жидкостей. В современной физике такие случайные движения большого числа частиц принято называть стохастическими или "шумами".
При статистическом описании невозможным становится точное определение положения и скорости той или иной частицы, зато можно вычислить некоторые средние значения, описывающие поведение всего ансамбля. Если следить за одной молекулой газа или за элементарным объемом жидкости в турбулентном потоке, то информация об их состоянии через некоторое время практически сводится к нулю. Однако можно получить информацию о средней скорости молекул газа, плотности газа, температуре и т.д. В этом случае в рассматриваемом объеме газа присутствуют частицы с очень разными скоростями, занимающие самые разные положения в пространстве. С существованием подобных движений, предсказуемых лишь в среднем и непредсказуемых для каждой конкретной частицы, классическая физика, всегда пытавшаяся определять все точно, смирилась, во-первых, потому что точное описание каждой отдельной частицы в большом ансамбле чрезвычайно сложно, во-вторых, потому что оно, как правило, никого не интересует.
Со времени создания статистической физики предполагалось, что хаотические, случайные, непредсказуемые состояния (движения) неизбежно связаны с ростом числа степеней свободы системы, введением случайных начальных условий или действием случайных сил. Движение же систем с малым числом степеней свободы, "простых" систем, подразумевало совершенно точное описание и было вполне определено механикой Ньютона [10]. Справедливости ради следует заметить, что неупорядоченные движения детерминированных систем с малым числом степеней свободы в физике все-таки встречались, они были известны еще Лагранжу и Пуанкаре [11], которые столкнулись с ними при изучении динамики трех небесных тел. Пуанкаре писал: "…картина эта настолько поражает, что я даже не берусь описать ее." Подобные состояния были известны и Биркгофу. В начале двадцатого века Ван дер Поль сообщал о нерегулярных режимах работы простейшего электронного генератора [12], впоследствии ставшего основной моделью автоколебаний. Однако такие состояния рассматривались как редко встречающиеся, особые, требующие отдельного описания.
Новые достижения современной науки, в первую очередь физики, заставили отказаться от этих предположений как от чрезмерно упрощающих действительность. Открытие явления динамического хаоса показало, что хаотические состояния нелинейных систем самой различной природы не только не являются чем-то из ряда вон выходящим, экзотическим, но, наоборот, должны рассматриваться как закономерные и при определенных условиях даже неизбежные. Впервые понятие “ хаос” встало рядом с понятием “закон”. Осознание того факта, что хаотическая динамика присуща практически всем нелинейным физическим системам стало революцией в современном естествознании.
Сразу отметим, что физика продолжает четко различать хаотические движения в системах со сравнительно небольшим числом степеней свободы и стохастические движения в большом ансамбле частиц. В этой книге речь пойдет именно о первых, кроме некоторых случаев, которые будут особо оговорены.
В чем же заключается явление динамического хаоса? Оно заключается в возникновении неупорядоченных движений в совершенно детерминированных системах, т.е. в системах, описываемых динамическими уравнениями, на которые не действуют никакие случайные внешние силы. Было выяснено, что в нелинейных системах с малым числом степеней свободы, считавшихся хорошо изученными (например, в осцилляторах), при определенных значениях параметров (например, амплитуды внешнего воздействия или диссипации) возникают сложные непредсказуемые движения, статистические характеристики которых практически не отличаются от статистических характеристик случайных движений. Поясним это на простейшем примере. Трудно представить себе систему, движущуюся более упорядоченно, чем обыкновенный часовой маятник, его колебания абсолютно регулярны, обладают строгим периодом, описываются такими известными функциями как синус или косинус. Однако это нелинейная система, и приведя маятник в нелинейный режим, например, увеличив амплитуду его колебаний, мы с удивлением обнаружим, что траектория его движения чрезвычайно усложнилась. Колебания прекратят быть симметричными, отклонения вправо и влево будут отличаться. Если мы будем и дальше увеличивать амплитуду колебаний, то нарушится и периодичность колебаний, траектория будет совершенно нерегулярной. Задавая те или иные начальные условия, мы не сможем сказать заранее, какая именно траектория будет им соответствовать. Если мы захотим описать такое движение математически, то мы столкнемся с довольно-таки сложной задачей: выяснится, что колебания такого вида не описываются известными нам функциями. Зато мы сможем описать такое движение статистически, подобно случайным движениям в большом ансамбле. Именно такие нерегулярные режимы, наблюдаемые в достаточно простых (т.е. с малым числом степеней свободы) детерминированных нелинейных системах при изменении их параметров, и получили название динамического, или детерминированного хаоса. Подчеркнем, что такие режимы наблюдаются именно в нелинейных системах.
Наличие нелинейности, которая по сути дела представляет собой меру сложности динамики системы, для существования подобного вида режимов является принципиальным. Математически это соответствует тому, что в уравнении динамики нелинейной системы присутствуют некоторые достаточно сложные функции определяемой переменной, например, степенные, а физически это означает движение в поле, напряженность которого зависит хотя бы от квадрата координаты. Теоретически детерминированные хаотические режимы могут наблюдаться в любой системе с достаточно большой нелинейностью. Грубо говоря, чем больше нелинейность системы, тем сложнее ее движение и тем вероятнее хаотические режимы. Однозначного ответа на вопрос, почему движение той или иной системы при тех или иных ее параметрах становится хаотическим нет до сих пор. Просто следует свыкнуться с мыслью, что установившееся хаотическое движение внутренне присуще многим системам и определяется их собственной сложной динамикой, законами их развития. В этом смысле нелинейные системы с детерминированным хаотическим поведением являются “ автогенераторами” шума, они "рождают" хаос. "Механизм" хаотизации динамики подобных систем чрезвычайно сложен, он основан на совместном действии нелинейности и неустойчивости, о чем подробнее будет сказано ниже.В 1963 году настоящей сенсацией, положившей начало исследовательскому буму, стало открытие сложного поведения сравнительно простой динамической системы, описывающей тепловую трехмодовую конвекцию атмосферы. Это открытие случайно сделал в Массачусетском технологическом институте Э. Лоренц, специалист по физике атмосферы [13]. Модельная система Лоренца была получена в результате некоторых упрощений из уравнений Навье – Стокса и впоследствии исследовалась в сотнях работ, став к настоящему времени одной из самых известных моделей хаоса. Нерегулярные колебания, наблюдаемые в модели Лоренца, и аналогичные им получили название динамического или детерминированного хаоса. Динамическими или детерминированными такие хаотические режимы были названы потому, что они возникают в системах, описываемых обыкновенными динамическими уравнениями, решение которых однозначно определено начальными условиями. В 1970 году Рюэль и Такенс ввели понятие “странного аттрактора”, ставшего математическим образом детерминированных хаотических колебаний [14]. Настоящей популярностью у ученых проблема динамического хаоса стала пользоваться после того, как в середине семидесятых годов понятие "странный аттрактор" было связано с моделью Лоренца, и появились надежды описать при помощи странного аттрактора такое "истинно" хаотическое движение как турбулентность.
В настоящее время проблема детерминированного хаоса связывает такие науки, как астрономия, радиофизика, физика твердого тела, биофизика, биология, химическая кинетика, экономика, экология, медицина и т.д. Сейчас уже трудно представить хоть сколько-нибудь известную нелинейную систему, в которой не найдены хаотические режимы. Явление динамического хаоса обнаружено в гидродинамических, оптических. электронных, космологических, метеорологических, биофизических, химических, экологических, экономических и даже социологических моделях. Разницу в пространственных и временных масштабах систем с динамическим хаосом трудно себе даже представить. Хаотические колебания в некоторых электронных системах происходят на частотах порядка 1012Гц [15, 16], человеческое сердце хаотически колеблется на частотах порядка единицы герца [17], а магнитные полюса Земли хаотически меняют свою полярность с частотой 10-12Гц [18] . Хаос наблюдается при движении светил, планет и огромных облаков межзвездного газа, в колебаниях обыкновенного маятника [19, 20], при движении атома в поле кристаллической решетки [21], в квантовых системах [22]. Мир оказался гораздо более хаотичным, чем это представлялось совсем недавно.
Все эти исследования дали огромное число самых разнообразных результатов, совершенно изменившие сложившиеся представления о хаосе. Оказалось, например, неверны что представления о хаосе как о совершенно беспорядочном состоянии, лишенном всякой структуры. Хаос может быть различным, обладая различной степенью упорядоченности. Для хаотических систем получены универсальные законы подобия, введены количественные меры хаотичности систем. Хаотические движения тоже развиваются по определенным законам, в одной и той же системе может существовать целая иерархия хаотических движений, сменяющих друг друга в определенной последовательности и отличающихся друг от друга своими характеристиками. В динамических системах хаотические движения возникают из регулярных при изменении параметров, подчиняясь определенным закономерностям, и могут исчезать, вновь превращаясь в периодические. Во многих нелинейных динамических системах хаотические движения являются преобладающими, встречаются в более широкой области параметров, чем регулярные (“островки регулярности в море хаотичности”).
Возникает вопрос, почему хаотическая динамика нелинейных систем стала предметом тщательного изучения сравнительно поздно, почему детерминированный хаос не обнаружили в экспериментах раньше, если он так распространен? По-видимому, все дело в том, что целые поколения ученых воспитывались в духе линейного мировоззрения, которое основывалось на идеях линейной математики и на длительном отсутствии методов решения нелинейных уравнений. Поэтому при постановке практически всех динамических задач сразу предполагался поиск только линейных решений как единственно возможных. Кроме того, решение нелинейных уравнений в широкой области параметров стало возможным только после появления мощных компьютеров, т.е. с середины шестидесятых годов. И даже после открытия хаотических движений в модели атмосферной конвекции только личная настойчивость и убежденность обнаружившего это явление Э. Лоренца заставила ученых отказаться от мысли, что такие движения являются ошибками компьютерного моделирования и заняться изучением хаотической динамики. Линейные стереотипы сдают свои позиции с большим сопротивлением.
Требует ответа и другой вопрос. Каково практическое применение знаний о детерминированном хаосе, можно ли это явление как-то использовать? В настоящее время поиски путей практической реализации результатов исследования хаотической динамики ведутся, главным образом, в двух основных направлениях. Во-первых, для тех или иных целей используются сами хаотические режимы. До последнего времени наиболее часто хаотические детерминированные режимы использовались при создании радиофизических и электронных генераторов шума с управляемыми характеристиками, необходимых, например, при создании систем ракетного противодействия [15,16]. Несколько позднее выяснилось, что для многих технических устройств в хаотических режимах улучшаются некоторые энергетические характеристики, например, повышается коэффициент полезного действия [23, 24]. Это тоже уже используется практически, хотя еще далеко недостаточно. Кроме того, детерминированные хаотические режимы используются для медицинской диагностики. Во-вторых, знание законов возникновения хаотических режимов позволяет избавляться от них, в тех случаях, когда они нежелательны, это можно сделать, изменив управляющие параметры. Несомненно, будущее принесет новые, может быть, неожиданные применения явления детерминированного хаоса.
Итак, в конце двадцатого столетия хаос стал новой парадигмой современной науки, примирив классическую и современную физику и объединив многие другие науки общей идеей. В пользу того, что концепция детерминированного хаоса стала новой общенаучной парадигмой, говорят следующие факты. Во-первых, детерминированный хаос оказался общенаучным явлением, был обнаружен в самых разнообразных системах. Во-вторых, концепция детерминированного хаоса привлекла внимание огромного числа специалистов различных областей знания, объединила усилия множества ученых, создала широкий круг приверженцев, а также новые научные направления и школы. В-третьих, открытие явления детерминированного хаоса привело к необыкновенным успехам таких общенаучных дисциплин как теория колебаний и качественная теория динамических систем и созданию нового нелинейного языка, изменило укоренившееся в науке линейное и регулярное мировоззрение, создала новый нелинейный стиль мышления. В-четвертых, введение представлений о детерминированном хаосе, по-видимому, позволяет разрешить основные физические парадоксы и ставит физику перед необходимостью создать новую синтетическую теорию, объединяющую классическую механику и статистическую теорию.
Несмотря на успехи современной науки, признать хаос хорошо изученным, полностью известным понятием еще рано. Достаточно вспомнить, что на изучение регулярных, периодических движений классической механике понадобилось более трех столетий. Наука о динамическом хаосе далека от завершения. Например, в настоящее время принято разделять хаотические режимы, возникающие в системах с диссипацией, и хаотические режимы консервативных систем, так называемый гамильтонов хаос. Такая же ситуация возникает при изучении хаотических движений физических систем малой и большой размерностей. Для этих видов хаотических движений введены разные описания, их свойства резко отличаются. Это означает, что проблема турбулентности, т.е. проблема строгого описания хаотических движений в бесконечномерной жидкой или газообразной среде, далека от разрешения. Говоря словами Роберта Фейнмана, "… с настоящей мокрой водой, т.е. водой, брызжущей из крана, мы справиться еще не в силах."[25]. Другой серьезной проблемой является хаос в микромире, квантовый хаос, концепция которого далека от завершения.
Однако теоретических и экспериментальных результатов исследования хаотической динамики самых разнообразных систем так много, они настолько удивительны, универсальны и так изменили представления современной науки о динамике и законах развития, что требуют общенаучного и философского анализа.