ФОРМАЛИЗМ

Разрабатываемая Гильбертом в 1922—39 программа метаматематич. обоснования математики (и логики) декларировала возможность «спасения» всей классич. математики, т. е. математики, строящейся на базе теории множеств Г. Кантора, безоговорочно пользующейся абстракцией актуальной бесконечности и всем арсеналом дедуктивных средств традиц. логики. По замыслу Гильберта, отсутствие парадоксов в выбранной систе.ме аксиом теории множеств могло бы быть гарантировано тем, что метаязык, на к-ром проводилось бы доказательство её непротиворечивости, содержал бы лишь финитные, конечные (никак не предполагающие использование понятия «актуальной бесконечности») выразительные и дедуктивные средства, абсолютно безупречные в отношении их ясности и убедительности.

Метаматематич. программа Гильберта, в ходе реализации к-рой им самим и его школой (П. Бернайс, В. Аккерман, Г. Генцен и др.) был получен ряд важнейших результатов (см. Непротиворечивость, Полнота), подверглась критике со стороны др. направлений оснований математики, в первую очередь интуиционизма (см. также Логицизм). В то же время фундаментальное открытие Гёделя (1931), установившее несовместимость требований непротиворечивости и полноты для достаточно богатых (с т. зр. их выразительных и дедуктивных средств) логико-математических исчислений, показало принципиальную ограниченность концепции Ф.

Вместе с тем метаматематич. принципы в сочетании с идеями и аппаратом др. направлений (напр., конструктивною направления) используются для разработки проблем теории доказательств (напр., амер. логиком Г. Крайзелем, рядом сов. логиков). См. также Аксиоматический метод, Метатеория.

• Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики, пер. с нем., т. 1, М., 1979; К p а й з е л ь Г., Исследования по теории доказательств, пер. с англ., М., 1981.