§10. Чему научаютъ насъ математическія науки.

Если принять то, что имы говорил относительно метода математическихъ наукъ, то ясно, что этотъ методъ доставляетъ намъ всЄ желаемыя гарантій правильности тЄхь результатовъ, достигнуть которые онъ даетъ намъ возможность.

Чтобы отвЄтить на этотъ вопросъ, будетъ не лишнимъ сдЄлать краткую зкскурсію въ область исторіи математики, такъ какъ математическія науки въ общемъ являются резуль- татомъ взаимнаго приспособленія нашего мьішленія и извіст- ныхъ свойствъ вещей и все боліє и боліє полнаго познанія этихъ свойствъ.

Согласно опреділенію, которое дается математикі, естественный свойства, составляющая ея предметъ, суть : порядокъ, число и пространство. Какъ мы виділи выше, наука о пространстві, въ лиці греческой геометрій, предшествовала, какъ наука, всімь другимъ отраслямъ математики.

Психологія съ своей стороны говорить намъ, что всі наши ощущенія (которыя являются непосредственными и послідними данными опыта), обладают© однимъ свойствомъ: свойствомъ протяженности и пространства. Это свойство совсімь не похоже на геометрическое пространство, даже если разсматривать самыя аффективныя ощущенія.

Психологи говорять намъ еще, что физіологическое пространство, то есть, то, которое служить для руководства нашими движеніями (раньше всякой геометрической концепцій), является результатомъ толкованія при помощи зрительныхъ ощущеній всіхь другихъ нашихъ ощущеній, въ частности осязательныхъ и мускульных© Другими словами,-мы перево- димъ осязательное или мускульное пространство въ пространство оптическое.

Скажемъ ли мы, что это оптическое пространство соста- вляетъ объектъ геометрій и что оно опреділяеть различныя отношенія нашихъ зрительныхъ ощущеній, разсматриваемыхъ съ точки зрінія протяженности и только съ этой точки зрінія ? Махъ весьма убідительно показалъ, что такое заключеніе было бы слишкомъ ПОСПІШНЬІМ©

Геометрическое пространство является результатомъ аб- страктнаго толкованія оптическаго пространства, при чемъ это посліднее лишается индивидуальныхъ особенностей, обобщается, а ті отношенія, которыя подразуміваеть оптическое пространство, становятся боліє пригодными для операцій разума.

Мы уже указали, что философы, какъ Бергсонъ и біологи, какъ ЛеДантекъ, обратили вниманіе на мЄсто, которое занимало въ нашей геометрій и, слЄдовательно, во всей нашей математике и даже логикЄ, разсмотрЄніе тверд ыхъ тЄлк И действительно, наши зрительныя, осязательныя и мускуль- ныя ощущенія, почти всЄ вызываются твердыми телами. Что же удивительнаго тогда въ томъ, что разъ первоначальный опытъ былъ направлень на твердыя тела, этотъ опытъ наложилъ неизгладимый слЄдь на нашу позднейшую науку.

Геометрія вскрываешь передъ нами все, что въ вещахъ можетъ быть разсматриваемо съ точки зрЄнія пространства и анализируетъ все глубже и глубже то свойство нашихъ ощущеній, которое мы называемъ протяженностью.

То же самое можно было бы сказать объ ариеметикЄ и алгебрЄ по отношєнію къ порядку и числу: онЄ являются вторичными свойствами нашихъ ощущеній, вытекающими изъ свойства ихъ протяженности въ пространстве, изъ того, что каждая вещь занимаетъ мЄсто въ пространстве и образуетъ такимъ образомъ совокупности, множества, — если только представленія эти не имЄють еще болЄе элементарнаго про- исхожденія въ актахъ вниманія, служащихъ намъ для грубаго различенія однихъ ощущеній отъ другихъ.

Въ пользу первой гипотезы можно снова привести то обстоятельство, что греки первоначально умЄли считать только геометрически и что имъ съ большимъ трудомъ удалось абстрагировать идею о числЄ отъ геометрической интуиціи. Однако, при всей трудности и медленности этого процесса абстрагированія, оно все же въ концЄ концовъ совершилось почти окончательно, и ариеметика съ алгеброй развились независимо отъ геометрій, хотя и на основі подобныхъ же принципов© Выражаясь словами Маха, можно сказать, что аривметика и алгебра еще больше, чімь геометрія, толкаютъ впередъ анализъ нашихъ ощущеній.

Итакъ, математическія науки раскрываютъ передъ нами отношенія вещей съ точки зрінія порядка, числа и пространства.

Исходя изъ анализа реальныхъ отношеній, существую- щихъ между вещами, нашъ духъ пріобрітаеть способность создавать подобныя отношенія при помощи ассоціацій по сходству. Онъ можетъ, отправляясь отъ комбинацій, которыя мы встрічаемь въ дійствительности, изобрітать такія ком- бинаціи, какихъ мы въ дійствительности никогда не находим© Послі того, какъ мы образовали представленія, которыя составляютъ копій реальнаго, мы можемъ образовать представленія, которыя служатъ образцами, какъ сказалъ Тэнъ, правда въ нісколько иномъ смьіслі.

Чімь древніе наука, то есть, чімь проще объектъ ея, тімь легче изученіе ея и, слідовательно, тімь бьістріе прогрессъ ея и тімь боліє развита эта техническая сторона. Въ наше время въ математикі она концентрируетъ на себі почти всі усилія математиковъ. Они постоянно и произвольно создаютъ новыя комбинаціи, и эти комбинаціи, подобно маши- намъ физиковъ, могутъ находить себі иногда приміненіе. Физика часто утилизируетъ, напримірь, математическія сообра- женія, которыя сначала носили нереальный характеръ.

Итакъ, математика создаетъ искусство, заключающееся въ томъ, чтобы выражать всі возможныя отношенія. Она становится наукой о функціяхь и можетъ тогда разсчитывать, согласно глубокой идеі Декарта, сділаться всеобщей математикой, то есть доставлять необходимый средства для точнаго вьіраженія всіхь естественныхъ законовъ.

§ 11. Резюме и выводы.

Изъ вышесказаннаго легко понять, что математика, будучи сначала наукой о реальномъ, можетъ въ настоящее время представиться взорамъ математиковъ, какъ продукты произвольной деятельности духа. Ея историческое происхо- жденіе нисколько не мЄшаегь ей принять въ настоящее время такой характеръ, а тотъ фактъ, что она такой харак- теръ приняла, въ свою очередь, нисколько ей не мЄшаегь быть, въ своей основЄ и въ своихъ элементарныхъ частяхъ, наукой о реальномъ, которая доставляетъ намъ знаніе наиболее общихъ и наболЄе простыхъ свойствъ реальнаго міра.

Понятно также, что, будучи первоначально открыта при помощи воображенія и интуиціи и будучи источникомъ всякаго новаго приспособленія, она можетъ впослЄдствіи представиться, какъ строго логическое развитіе некоторыхъ перво- начальныхъ положеній. Область интуиціи, повидимому, сокращается, чтобы уступить мЄсто раціональной дедукціи, подобно тому, какъ всякое требующее изобретательности приспосо- бленіе, по мЄрЄ своего ycnfixa, уступаетъ мЄсто стереотип- нымъ привычкамъ.

Не решается ли подобнымъ же образомъ и тотъ мето- дологическій конфликтъ, который возникъ нЄсколько времени тому назадъ между индуктивными и чисто дедуктивными теоріями математиковъ? Интуиція и дедукція дополняютъ и совсемъ не исключаютъ другъ друга; интуиція имЄєть мЄстоgt; не только у геометра, но и у чистаго альгебраиста при всякомъ новомъ открьітіи.

Такимъ образомъ можно понять позицію абсолютнаго' раціонализма, даже если не принять ея: математическія науки представляютъ дальнейшее развитіе логики, простое аналитическое развитіе законовъ разума, но въ то-же время служатъ непоколебимой основой всехъ нашихъ знаній (Кутюра, Рессель). Эта теорія просто приняла пунктъ, достигнутый продолжительной психологической работой, за его точку отправленія. Переворачивая действительную скалу логиче- скихъ цЄнностей, она придаетъ разуму роль первоначальнаго, изолированная и простого фактора, между тЄмь какъ онъ представляетъ собой результатъ взаимнаго приспособленія между нашей деятельностью и средой.

Абсолютный рацюнализмъ, повидимому, имЄєть достаточно основаній постулировать своего рода идеалистическій реализмъ,—гипотезу, что законы разума совпадаютъ съ законами вешей. Но едва-ли онъ правъ въ томъ, что раздЄляеть разумъ и вещи и полагаетъ, что разумъ одинъ и собственными силами въ состояніи исчерпать познаніе законовъ, управляющихъ вещами. ВЄдь въ такомъ случае пришлось бы допустить, что путемъ чудеснаго согласованія или особой благодати мы надЄленьі, по крайней мЄрЄgt; въ зародыше, интуиціей этихъ законовъ.

Конечно, анализъ разума долженъ дать результаты, соизмеримые съ результатомъ анализа природы. Конечно, математика, занимаясь анализомъ разума, занимается въ то же время анализомъ природы, или, если угодно, устанавливаешь некоторые элементы, необходимые для послЄдняго. Не проще ли предположить, что это происходить потому, что наша психическая деятельность формируется, приспособляясь къ среде и тЄмь практическимъ обстоятельствамъ, въ которыхъ ей приходится функционировать? И не устанавливаются ли и не определяются ли такимъ путемъ основные законы познанія,—эта логическая система, которую мы называемъ ра- зумомъ и лишь сложнымъ развитіемь которой является наша математика ? Нашъ разумъ есть порожденіе живот- наго инстикта; наша психическая зволюція продолжаешь лишь зволюцію біологическую. Въ основе своей обе эти зволюціи представляють одно и то же; и нЄть такого момента, когда бы психическое было изолировано отъ біологическаго, деятельность ума—отъ жизненной и практической деятельности.

Но такъ какъ существу болЄе сложному, если оно желаешь жить, необходимо все болЄе и болЄе точное и вЄрное знаніе среды, то инстинктъ преобразовывается въ интеллектъ, въ разумъ, а практическая деятельность—въ знаніе.

Вотъ почему, хотя различія между абсолютнымъ раціо- нализмомъ и приведенной здісь теоріей очень велики по вопросу о происхожденіи и исторіи математики,—по вопросу о ценности и значеній ея мы, наоборотъ, приходимъ къ ре- зультатамъ весьма сходным© эта ценность и это значеніе абсолютны, выражаясь человіческимь языкомъ. Что же касается языка сверхчеловіческаго, точки зрінія трансцендентной, то я сознаюсь, что тайны такого рода позицій я еще не знаю, да и не особенно скорблю объ этомъ. Меня совершенно удовлетворяетъ возможность йміть полное человіче- ское пониманіе вешей и умінье вірно передавать его на человіческомь ЯЗЬІКІ.

Конечно, сначала мы изучили законы, касающіеся наиболіе обычнаго въ нашемъ опьіті, и первоначально мы сами себя формировали по этимъ законамъ, истолковывая ихъ сообразно нашимъ нуждамъ, нашимъ стремленіямь, однимъ словомъ, нашей біо-психологической природі.

Но, хотя мы и начали съ этого, можно ли, однако, сказать, что наша наука не есть истинное знаніе и что она ограничивается нікоторьіми свідініями о нікоторьіхь частныхъ предметахъ ?

Не поверхностенъ ли и благодаря этому не слишкомъли скуденъ такой выводъ ? Прагматизмъ, по-моему, впадаетъ въ крайность, совершенно противоположную той, въ какую впадаетъ традиціонньїй рацюнализмъ. Послідній точку прибьітія принялъ за точку отправленія и по концу вывелъ заключеніе о началі. Прагматизмъ, наоборотъ, приближаетъ точку прибьітія въ точкі отправленія до полнаго сліянія ихъ и по началу выводить заключеніе о конці. Правильніе было бы полагать, что математика, выйдя изъ утилитарнаго антропоморфизма, мало-по-малу разбила кругъ субъективнаго горизонта. Благодаря непрерывно прогрессирующему анализу, ей удалось достигнуть нікоторьіхь реальныхъ, объективно-универсальныхъ и необходимыхъ отношеній вещей.

Въ заключеніе, мнЄ кажется, можно предложить слЄ- дующіе выводы по вопросу о природЄ, цЄнности и значеній метематическихъ наукъ: математическія науки уже давно достигли такого развитія, что могутъ дать человЄческому духу силу вообразить, создать абстрактныя отношенія порядка, числа, положенія и—болЄе общо—функцій. Эти отношенія, очевидно, построены произвольно; это—чистыя возможности, и въ этомъ смьіслЄ математика является наукой, выходящей далеко за пределы реальнаго міра и развивающейся въ настоящее время внЄ соприкосновенія съ опытомъ и а р г і о г і.

Но эти возможны я отношенія были поняты по образцу опредЄленньіхь отношеній того же рода, которыя намъ предлагаетъ опытъ; и прежде чЄмь быть въ состояніи вообразить первыя, необходимо было изучить въ действительномъ міре вторыя. Въ этомъ смысле математика имЄєть эмпирическое происхожденіе и является наукой о реальномъ. Точно такъ же извЄстньія отношенія, выработанный духомъ, a priori и произвольно, могутъ впослЄдствіи найти въ себе при- мЄнєніє въ опьітЄ и послужить физикамъ въ ихъ изученіи фактовъ: они въ действительности—слЄдствіє отношеній, рас- крытыхъ первоначально анализомъ опыта. Они являются и остаются всегда возможными.

Наконецъ, если математика есть наука о реальномъ, то она не представляетъ собой чистаго символизма, орудія, искусственно изобрЄтеннаго для нуждъ практики. Она связана съ известными свойствами вещей. Она имЄєть свои корни въ природЄ вещей, точно такъ же какъ и нашъ разумъ и наша логика, частнымъ примененіемь которыхъ она является и которыя въ основе своей построены по аналогичному способу.

Не все ли равно, какимъ путемъ мы забираемся въ реальный мірь, разъ, изучая его все ближе и ближе, мы такъ или иначе приходимъ къ полному его познанію.