АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Идея А. м. впервые была высказана в связи с построением геометрии в Др. Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид). Для совр. стадии развития А. м. характерна выдвинутая Гильбертом концепция формального А. м., к-рая ставит задачу точного описания логич. средств вывода теорем из аксиом. Осн. идея Гильберта — полная формализация языка науки, при к-рой её суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь при нек-рой конкретной интерпретации. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются спец. правила вывода. Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) — это нек-рая последовательность формул, каждая из к-рых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по к.-л. правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом изучаются содержат. средствами метатеории. Осн. требования, предъявляемые к аксиоматич. формальным системам,— непротиворечивость, полнота, независимость аксиом. Гильбертовская программа, предполагавшая возможность доказать непротиворечивость и полноту всей классич. математики, в целом оказалась невыполнимой. В 1931 Гёделъ доказал невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых науч. теорий (напр., арифметики натуральных чисел), что свидетельствовало об ограниченности А. м. Осн. принципы А. м. были подвергнуты критике сторонниками интуиционизма и конструктивного направления. См. также Формализм в математике и логике, Теория.

• К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (лит.); Садовский В. Н., А. м. построения науч. знания, в кн.: Филос. вопросы совр. формальной логики, М., 1962; Столл Р., Множества. Логика. Аксиоматич. теории, пер. с англ., М., 1968; Н о в и к о в П. С., Элементы математич. логики, M., 19732.