Вложение денег в банк под проценты
Вложение также, как и в случае простых процентов, может быть одноразовым и многоразовым.
Пример 1 (одноразовый вклад денег в банк под проценты). Допустим клиент сделал депозитный вклад в банк в сумме 1000 у.е.
под 50% годовых сроком на пять лет.Какую сумму денег клиент будет иметь в банке через пять лет? Используя формулу (1.16), получим:
ECs = 1000 · (1 + 50/IOO)5 = 7593,75 у.е.
Здесь можно воспользоваться «правилом 72-х», суть которого заключается в следующем. Для небольших значений гс величина отношения 72/іе показывает число лет, за которое первоначальный вклад HC приблизительно удваивается, т.е. ECn/НС * 2. Согласно формуле (1.16) получим:
1) для ic = 5%: я = 72/5 = 14,4 лет, точное решение —БСп/НС = 2,018952;
2) для »е = 10%: я = 72/10 = 7,2 года, точное решение —БСп/НС - 1,98622;
3) для ic = 15%: я = 72/15 = 4,8 лет, точное решение —БСп/НС = 1,955913.
Правило 72-х справедливо для небольших значений /с. Отметим, что в формуле,(1.16) и может быть дробным числом. Так, если бы в данном примере срок депозита был бы не пять лет, а четыре года 250 дней, то
п = 4 + 250/365 = 4,685 лет;
І>С4,685 = 1000 · (I + 50/100)4’685 = 6683,25 у.е.
Этот способ расчета является приближенным. Для нецелого числа лет может быть также использована смешанная формула:
ECn = HC ■ (1 + /с/100)я« · ( 1 + пд · іс/ 100),
где пц — целое число лет; пд — дробное число лет.
В данном примере пц = четыре года, пд = 0,685 года. Отсюда 2>С4,685 = 1000 (I + 50/100)4 ■ (1+0,685 · 50/100) = 6796,41 у.е.
Расхождение между результатами расчетов составляет 1,7%. Приближенный метод начисления процентов дает несколько заниженную величину. Более точный расчет получается при смешанной формуле.
Пример 2 (многоразовое вложение денег). Пусть клиент делает вклады в конце каждого года (рис. 1.13).
 Рис. 1.13. |
Какую сумму будет иметь клиент в конце л-го года, т.е. ECne! Составим вначале общую формулу для определения ECn при числе вкладов л:
 |
Еслй предположить, что вклады одинаковы, т.е. BKJIi — = BKJh = ВКЛъ =...= BKJIn = BKJI, то формула (1.17) примет следующий вид:
 |
Учитывая, что
 |
получим окончательное выражение для расчета:
БСп = ВКЛ ■ [(1 + /с/100)я - 1] / (/с /100). (1.18)
Пример 3. Имеем: BKJI = 1000 у.е.; /с = 50%; л = четыре года. Требуется найти БСа.
БС4= 1000 (1 + 50/100) + 1000 (I + 50/100)2 + 1000 (1 + 50/100)1 + + 1000 · 1= 3375 + 2250 + 1500 + 1000 = 8125 у. е.
Решение по формуле (1.18) приводит к тому же результату: БС4 = 1000 · [(1+50/100)4—1] / 50/100 = 8125 у. е.
Допустим теперь, что клиент делает вклады в начале каждого года. При этом число вкладов будет также равно л (в конце л-го года);
Требуется определить, какую сумму будет иметь клиент через л лет?
Вначале также составим общую формулу для определения суммы БСп\
 |
Если предположить, что все вклады одинаковы, т.е. BKJIx = — BKJIl = BKJh =...= BKJIn = ВКЛ, то формула (1.19) примет следующий вид:
 |
получим для данной ситуации следующую окончательную формулу:
БСп = ВКЛ· [(1 + /с/100)л - 1] / (Ie /100) · (1 + /с /100). (1.20)
Пример 4. Даны: ВКЛ = 1000 у.е.; /с = 50%; л = 4 года.
Найти БС4.
БС4= 1000 · (I + 50/100)4 + 1000 ■ (I + 50/100)3 + 1000 ■ (1 +
+ 50/IOO)2 + 1000 ■ (I + 50/100)1 = 5062,5 + 3375 + 2250 + 1500 =
= 12187,5 у. е.
Теперь получим решение по формуле (1.20):
БСп = 1000 · [(I + 50/100)4 -1] / (50/100 · (1 + 50/100) = 12187,5 у.е., т.е. такой же результат.
1.3.2.