МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ ВО ВРЕМЕНИ

Управление денежными потоками требует посто­янного осуществления различного рода финансово-эко­номических расчетов, связанных с их оценкой в разные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах иг­рает оценка стоимости денег во времени.

Концепция стоимости денег во времени состоит в том, что эта стоимость с течением времени изменяется с уче­том нормы прибыли на финансовом рынке, в качестве ко­торой обычно выступает норма ссудного процента (или процента).

Концепция стоимости денег во времени играет осно­вополагающую роль в практике финансовых вычисле­ний. Она предопределяет необходимость учета фактора времени в процессе осуществления любых долгосроч­ных финансовых операций, связанных с использовани­ем капитала, путем оценки и сравнения стоимости де­нег при начале финансирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли, амортизаци­онных отчислений, основной суммы долга и т.д.

Оценка стоимости денег с учетом фактора времени требует предварительного рассмотрения связанных с ней базовых понятий. Ниже изложено содержание основ­ных из этих понятий.

ПРОЦЕНТ — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (депозитный процент, кредитный процент, процент по облигациям, процент по вексе­лям и т.п.).

ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по ко­торой дальнейшие расчеты платежей не осуществля­

ются. Начисление простого процента применяется, как правило, при краткосрочных финансовых операциях.

СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которая не выплачивается, а при­соединяется к основной сумме капитала и в после­дующем платежном периоде сама приносит доход. Начисление сложного процента применяется, как правило, при долгосрочных финансовых операциях (инвестировании, кредитовании и т.п.).

ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА (ставка процента) — удельный показатель, в соответствии с которым в установлен­ные сроки выплачивается сумма процента в расчете на единицу капитала. Обычно процентная ставка ха­рактеризует соотношение годовой суммы процента и суммы предоставленного (заимствованного) капитала (выраженное в десятичной дроби или в процентах).

БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ — сумма инвестиро­ванных в настоящий момент денежных средств, в ко­торую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента (процентной ставки).

НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ — сумма будущих денежных средств, приведенных с учетом определен­ной ставки процента (процентной ставки) к настоя­щему периоду времени.

НАРАЩЕНИЕ СТОИМОСТИ (компаундинг) — процесс приведения настоящей стоимости денег к их будущей стоимости в определенном периоде путем присоеди­нения к их первоначальной сумме начисленной сум­мы процентов.

ДИСКОНТИРОВАНИЕ СТОИМОСТИ - процесс приве­дения будущей стоимости денег к их настоящей стои­мости путем изъятия из их будущей суммы соответ­ствующей суммы процентов (называемой “дисконтом”).

ПЕРИОД НАЧИСЛЕНИЯ — общий период времени, в те­чение которого осуществляется процесс наращения или дисконтирования стоимости денежных средств.

ИНТЕРВАЛ НАЧИСЛЕНИЯ — обусловленный конкрет­ный временной срок (в пределах общего периода на­числения), в рамках которого рассчитывается от­

дельная сумма процента по установленной его ставке (осуществляется отдельный платеж процента).

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ПРО­ЦЕНТА (метод пренумерандо или антисипативный метод) — способ расчета платежей, при котором на­числение процента осуществляется в начале каждого интервала.

ПОСЛЕДУЮЩИЙ МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТА

(метод постнумерандо или декурсивный метод) — способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в конце каждого интервала.

ДИСКРЕТНЫЙ ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК — поток платежей на вложенный капитал, имеющий четко ограничен­ный период начисления процентов и конечный срок возврата основной его суммы.

НЕПРЕРЫВНЫЙ ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК — поток плате­жей на вложенный капитал, период начисления процен­тов по которому не ограничен, а соответственно не опре­делен и конечный срок возврата основной его суммы.

АННУИТЕТ (ФИНАНСОВАЯ РЕНТА) - длительный по­ток платежей, характеризующийся одинаковым уров­нем процентных ставок на протяжении всего периода. Среди изложенных базовых понятий, связанных с оценкой стоимости денег во времени, наиболее слож­ным является понятие процентной ставки, по которой осуществляется процесс наращения и дисконтирования стоимости денежных средств. Это понятие отличается многообразием конкретных его видов, используемых в практике финансовых вычислений. Процентная ставка, используемая в процессе наращения или дисконтиро­вания стоимости денежных средств (оценки их буду­щей и настоящей стоимости), классифицируется по сле­дующим основным признакам (рис. 4.1).

1. По использованию в процессе форм оценки сто­имости денег во времени различают ставку наращения и ставку дисконтирования (дисконтную ставку).

• Ставка наращения представляет собой процент­ную ставку, по которой осуществляется процесс нара­щения стоимости денежных средств (компаундинг), т.е. определяется их будущая стоимость.

Рисунок 4.1. Классификация видов процентной ставки, ис­пользуемой в процессе оценки стоимости денег во времени.

• Ставка дисконтирования (дисконтная ставка) пред­ставляет собой процентную ставку, по которой осущест­вляется процесс дисконтирования стоимости денежных средств, т.е. определяется их настоящая стоимость.

2. По стабильности уровня используемой процентной ставки в рамках периода начисления выделяют фиксиро­ванную и плавающую процентные ставки.

• Фиксированная ставка характеризуется неизмен­ным ее уровнем на протяжении всех интервалов обще­го периода начисления.

• Плавающая (или переменная) процентная ставка характеризуется регулярно пересматриваемым ее уров­нем по соглашению сторон в разрезе отдельных интер­валов общего периода начислений.

3. По обеспечению начисления определенной годо­вой суммы процента различают периодическую и эффек­тивную процентные ставки.

о Периодическая ставка процента при обеспечении определенной годовой суммы процента может варьиро­вать как по уровню, так и по продолжительности от­дельных интервалов на протяжении годового периода платежей.

о Эффективная ставка процента (или ставка сравне­ния) характеризует среднегодовой ее уровень, определя­емый отношением годовой суммы процента, начислен­ного по периодическим его ставкам, к основной сумме капитала.

4. По условиям формирования различают базовую и договорную процентные ставки.

• Базовая процентная ставка характеризуется определенным исходным ее уровнем в качестве перво­начальной основы последующей ее конкретизации кре­дитором (заемщиком) в зависимости от условий осуще­ствления соответствующей финансовой операции.

• Договорная процентная ставка характеризует конкре­тизированный ее уровень, согласованный кредитором и заемщиком и отраженный в соответствующем кредит­ном (депозитном, инвестиционном) договоре.

Система основных базовых понятий позволяет последовательно рассмотреть методический инструмен­тарий оценки стоимости денег во времени в разрезе наиболее характерных вариантов управления денеж­ными потоками. Этот методический инструментарий дифференцируется в разрезе следующих видов вычи­слений (рис. 4.2).

Рисунок 4.2. Систематизация основных методических подходов к оценке стоимости денег во времени

I. Методический инструментарий оценки стоимости денег по простым процентам использует наиболее упро­щенную систему расчетных алгоритмов.

1. При расчете суммы простого процента в процессе наращения стоимости (компаундинга) используется сле­дующая формула:

/ = Р х п х /,

где /— сумма процента за обусловленный период вре­мени в целом;

Р— первоначальная сумма (стоимость) денежных средств;

п — количество интервалов, по которым осуществля­ется расчет процентных платежей, в общем обус­ловленном периоде времени;

і — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае будущая стоимость вклада (5) с уче­том начисленной суммы процента определяется по фор­муле:

S = P + I = Px(l+ni).

Пример: Необходимо определить сумму простого про­цента за год при следующих условиях: первоначальная сумма вклада — 1000 уел. ден. ед.; процентная ставка, выплачиваемая ежекварталь­но — 20%.

Подставляя эти значения в формулу, получим сумму процента: I = 1000 х4 x 0,2 = 800 уел. ден. ед.; будущая стоимость вклада в этом случае соста­вит:

S = 1000 + 800 — 1800 уел. ден. ед.

Множитель (1 + пі) называется множителем (или коэффициентом) наращения суммы простых про­центов. Его значение всегда должно быть больше еди­ницы.

Процесс наращения суммы вклада во времени по простым процентам может быть представлен графи­чески (см. рис. 4.3).

Рисунок 4.3. График наращения суммы денежных средств по простым процентам (при процентной ставке 20%)

2. При расчете суммы простого процента в процессе дисконтирования стоимости (т.е. суммы дисконта) ис­пользуется следующая формула:

где D — сумма дисконта (рассчитанная по простым про­центам) за обусловленный период времени в целом;

S — стоимость денежных средств; п — количество интервалов, по которым осуществля­ется расчет процентных платежей, в общем обу­словленном периоде времени;

/ — используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае настоящая стоимость денежных средств (Р) с учетом рассчитанной суммы дисконта оп­ределяется по следующим формулам:

Пример: Необходимо определить сумму дисконта по простому проценту за год при следующих условиях: конечная сумма вклада определена в размере 1000 уел.

дисконтная ставка составляет 20% в квартал.

Рисунок 4.4. График дисконтирования суммы денежных средств по простым процентам (при дисконтной ставке 20%)

Подставляя эти значения в формулу расчета суммы дисконта, получим:

II. Методический инструментарий оценки стоимо­сти денег по сложным процентам использует более об­ширную и более усложненную систему расчетных ал­горитмов.

1. При расчете будущей суммы вклада (стоимости денежных средств) в процессе его наращения по слож­ным процентам используется следующая формула:

где Sc — будущая стоимость вклада (денежных средств) при его наращении по сложным процентам;

Р — первоначальная сумма вклада;

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осущест­вляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Соответственно сумма процента (1С) в этом случае определяется по формуле:

Пример: Необходимо определить будущую стоимость вклада и сумму сложного процента за весь период инвестирования при следующих условиях:

• первоначальная стоимость вклада — 1000уел. ден. ед.;

• процентная ставка, используемая при рас­чете суммы сложного процента, установле­на в размере 20% в квартал;

• общий период инвестирования — один год.

Подставляя эти показатели в вышеприведен­ные формулы, получим:

Будущая стоимость вклада =

= 1000 * (1 + 0,2)4 - 2074 уел. ден. ед.

Сумма процента = 2074 -1000 = 1074 уел. ден. ед.

Графически процесс наращения стоимости вклада по сложным процентам представлен на рисунке 4.S.

Рисунок 4.5. График наращения суммы денежных средств по сложным процентам (при процентной ставке 20%)

2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования по сложным процентам ис­пользуется следующая формула:

где Рс — первоначальная сумма вклада;

S — будущая стоимость вклада при его наращении, обусловленная условиями инвестирования; і — используемая дисконтная ставка, выраженная де­сятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осуществля­ется каждый процентный платеж, в общем обус­ловленном периоде времени.

Соответственно сумма дисконта (Dc) в этом случае определяется по формуле:

Пример: необходимо определить настоящую стои­мость денежных средств и сумму дисконта по слож­ным процентам за год при следующих условиях:

• будущая стоимость денежных средств оп­ределена в размере 1000 уел. ден. ед.;

• используемая для дисконтирования ставка сложного процента составляет 20% в квартал.

Подставляя эти значения в формулы, получим:

Графически процесс дисконтирования денежных средств по сложным процентам представлен на ри­сунке 4.6.

Рисунок 4.6. График дисконтирования суммы денежных средств по сложным процентам (при дисконтной ставке 20%)

3. При определении средней процентной ставки, ис­пользуемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется следующая формула:

где і — средняя процентная ставка, используемая в рас­четах стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

Sc — будущая стоимость денежных средств;

Рс — настоящая стоимость денежных средств; и — количество интервалов, по которым осущест­вляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: необходимо определить годовую ставку до­ходности облигации при следующих условиях:

• номинал облигации, подлежащий погашению через три года, составляет 1000уел. ден. ед.;

• цена, по которой облигация реализуется в момент ее эмиссии, составляет 600уел. ден. ед.

Подставляя эти значения в формулу, получим:

4. Длительность общего периода платежей, выражен­ная количеством его интервалов, в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам определяется путем логарифмирования по следующей формуле:

где Sc — будущая стоимость денежных средств;

Рс — настоящая стоимость денежных средств;

/ — используемая процентная ставка, выраженная де­сятичной дробью.

5. Определение эффективной процентной ставки в процессе наращения стоимости денежных средств по слож­ным процентам осуществляется по формуле:

где /, — эффективная среднегодовая процентная ставка при наращении стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

і — периодическая процентная ставка, используемая при наращении стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

п — количество интервалов, по которым осуществля­ется каждый процентный платеж по периодичес­кой процентной ставке на протяжении года.

Пример: необходимо определить эффективную среднегодовую процентную ставку при следующих условиях:

• денежная сумма 1000 уел. ден. ед. помещена в коммерческий банк на депозит сроком на 2 года;

• годовая процентная ставка, по которой ежеквартально осуществляется начисление процента, составляет 10% (0,1).

Подставляя эти значения в формулу, получим:

Результаты расчетов показывают, что усло­вия помещения денежной суммы сроком на 2 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов, равнозначны условиям начисления этих процентов один раз в год под 10,38% годовых (10,38% составляет размер эффективной или сравнимой про­центной ставки).

При оценке стоимости денег во времени по слож­ным процентам необходимо иметь в виду, что на ре­зультат оценки оказывает большое влияние не только используемая ставка процента, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода. Иногда оказывается более выгодным инвести­ровать деньги под меньшую ставку процента, но с боль­шим числом интервалов в течение предусмотренного периода платежа.

Пример: Перед инвестором стоит задача размес­тить 100 уел. ден. ед. на депозитный вклад сроком на один год. Один банк предлагает инвестору вы­плачивать доход по сложным процентам в разме­ре 23% в квартал; второй — в размере 30% один раз в четыре месяца; третий — в размере 45% два раза в году; четвертый — в размере 100% один раз в году.

Для того, чтобы определить, какой вариант инвестирования лучше, построим следующую таб­лицу:

Таблица 4.1.

Расчет будущей стоимости вклада ври различных условиях инвестирования

(уел. ден. ед.)

множителем наращения и множителем дисконтирова­ния суммы сложных процентов. Они положены в осно­ву специальных таблиц финансовых вычислений, с по­мощью которых при заданных размерах ставки процента и количества платежных интервалов можно легко вы­числить настоящую или будущую стоимость денежных средств по сложным процентам (см. приложения 1 и 2).

III. Методический инструментарий оценки стоимос­ти денег при аннуитете связан с использованием наибо­лее сложных алгоритмов и определением метода начисле­ния процента — предварительным (пренумерандо) или последующим (постнумерандо).

1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) ис­пользуется следующая формула:

где SApre — будущая стоимость аннуитета, осуществляемо­го на условиях предварительных платежей (пренумерандо);

R — член аннуитета, характеризующий размер от­дельного платежа;

/ — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осущест­вляется каждый платеж, в общем обусловлен­ном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предваритель­ных платежей (пренумерандо), при следующих данных:

• период платежей по аннуитету предусмот­рен в количестве 5 лет;

• интервал платежей по аннуитету состав­ляет один год (платежи вносятся в начале года);

• сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1000 уел. ден. ед.;

• используемая для наращения стоимости про­центная ставка составляет 10% в год (0,1).

Подставляя эти значения в приведенную фор­мулу, получим:

Будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо),

где SApost — будущая стоимость аннуитета, осуществляемо­го на условиях последующих платежей (пост- нумерандо);

R — член аннуитета, характеризующий размер от­дельного платежа; і — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осущест­вляется каждый платеж, в общем обусловлен­ном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последу­ющих платежей (постнумерандо), по данным, из­ложенным в предыдущем примере (при условии взноса платежей в конце года).

Подставляя эти данные в приведенную форму­лу, получим:

Будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо),

Сопоставление результатов расчета по двум примерам показывает, что будущая стоимость анну­итета, осуществляемого на условиях предваритель­ных платежей, существенно превышает будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на усло­виях последующих платежей, т.е. в первом случае плательщику обеспечена гораздо большая сумма до­хода.

3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), используется следующая формула:

где PApre — настоящая стоимость аннуитета, осуществля­емого на условиях предварительных платежей (пренумерандо);

R — член аннуитета, характеризующий размер от­дельного платежа; і — используемая процентная (дисконтная) став­ка, выраженная десятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осущест­вляется каждый платеж, в общем обусловлен­ном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать настоящую стои­мость аннуитета, осуществляемого на условиях пред­варительных платежей (пренумерандо), при следу­ющих данных:

• период платежей по аннуитету предусмот­рен в количестве 5 лет;

• интервал платежей по аннуитету состав­ляет один год (при внесении платежей в на­чале года);

• сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1000 уел. ден. ед.;

• используемая для дисконтирования стоимо­сти ставка процента (дисконтная ставка) составляет 10% в год (0,1).

Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим:

Настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумеран­до). равна:

4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:

где PAp0St — настоящая стоимость аннуитета, осуществля­емого на условиях последующих платежей (постнумерандо);

R — член аннуитета, характеризующий размер от­дельного платежа;

/ — используемая процентная (дисконтная) став­ка, выраженная десятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осущест­вляется каждый платеж, в общем обусловлен­ном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать настоящую стои­мость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), по дан­ным, изложенным в предыдущем примере (при усло­вии взноса платежей в конце года).

Подставляя эти данные в приведенную форму­лу, получим:

Настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо),

Сопоставление результатов расчета по двум последним примерам показывает, что настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на усло­виях предварительных платежей, существенно пре­вышает настоящую стоимость аннуитета, осуще­ствляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае в процессе дисконтирования пла­тельщику гарантирована гораздо большая сумма дохода в настоящей стоимости.

5. При расчете размера отдельного платежа при за­данной будущей стоимости аннуитета используется сле­дующая формула:

SАрШ — будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей); і — используемая процентная ставка, выраженная де­сятичной дробью; п — количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.

6. При расчете размера отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета используется такая формула:

где R — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при известной текущей его стоимости); РА post — настоящая стоимость аннуитета (осуществляемо­го на условиях последующих платежей); і — используемая процентная ставка, выраженная де­сятичной дробью; п — количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.

В процессе расчета аннуитета возможно использо­вание упрощенных формул, основу которых составляет только член аннуитета (размер отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффици­ент) его наращения или дисконтирования.

В этом случае формула для определения будущей стои­мости аннуитета (осуществляемого на условиях после­дующих платежей), имеет вид:

гае SA post — будущая стоимость аннуитета (осуществляемо­го на условиях последующих платежей);

R — член аннуитета, характеризующий размер от­дельного платежа;

1а — множитель наращения стоимости аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной ставки и коли­чества интервалов в периоде платежей.

где РАp0St — настоящая стоимость аннуитета (осуществля­емого на условиях последующих платежей);

R — член аннуитета, характеризующий размер от­дельного платежа;

Da — дисконтный множитель аннуитета, определя­емый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной (дисконтной) ставки и количества интервалов в периоде платежей.

В приложениях 3 и 4 приведены множители нараще­ния стоимости аннуитета и его дисконтные множители.

Использование стандартных множителей (коэффи­циентов) наращения и дисконтирования стоимости (приложения 1—4) существенно ускоряет и облегчает про­цесс оценки стоимости денег во времени.