2.4. Математические основы финансового менеджмента [8, 9, 12]

Базовые понятия финансовой математики.

Четкое представление о базовых понятиях финансовой ма­тематики необходимо для понимания всего последующего мате­риала. Главное из таких понятий – процентные деньги (далее – проценты), определение которых составляет сущность большин­ства финансовых расчетов.

Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т. д.) либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка – это величина, характеризующая интен­сивность начисления процентов. Величина получаемого дохода (т. е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).

Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно взять либо величину первоначальной денежной суммы (P), либо наращенной суммы (будущей стоимости денег S). Тогда ставка рассчитывается по одной из двух формул:

Темп прироста . (2.3)

Темп снижения . (2.4)

В финансовых вычислениях первый показатель помимо процентной ставки называют еще «норма прибыли», «доходность», «процент», а второй – «учетная ставка», «дисконт».

Наращение (рост) первоначальной суммы долга – это увеличе­ние суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Множитель (коэффициент) наращения – это величина, пока­зывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – это промежуток времени, за который на­числяются проценты (получается доход). В дальнейшем будем полагать, что период начисления совпадает со сроком, на кото­рый предоставляются деньги.

Интервал начисления – это минимальный период, по прошест­вии которого происходит начисление процентов.

Существуют две концепции и соответственно два способа оп­ределения и начисления процентов (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Способы определения и начисления процентов

Простые ставки ссудных процентов. Применя­ются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда ин­тервал начисления совпадает с периодом начисления (и составля­ет, как правило, срок менее одного года) или когда после каждо­го интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут приме­няться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон. Основные формулы для определения наращенной суммы (будущей суммы, будущей стоимости денег):

; (2.5)

, (2.6)

где P – величина первоначальной денежной суммы;

n – продолжительность периода начисления в годах;

i – относительная величина годовой ставки процентов.

d – продолжительность периода начисления в днях;

K – продолжительность года в днях.

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы P, которая в будущем составит заданную величину S. В этом случае Р называется современной (текущей, настоя­щей, приведенной) величиной суммы S.

Определение современной величины Р наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращен­ной суммы S – компаундингом (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Логика финансовых операций

Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Ставка показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал.

Простые учетные ставки. При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получае­мой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая опера­ция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.

Дисконт – это доход, полученный по учетной ставке, т. е. раз­ница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Формула для оп­ределения наращенной суммы:

, (2.7)

где d – относительная величина учетной ставки.

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обязательств.

Сложные ставки ссудных процентов. Если после очередного интервала начисления доход (т. е. на­численные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют фор­мулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоя­щее время являются весьма распространенным видом применяе­мых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Пусть

ic – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

j – номинальная ставка сложных ссудных процентов.

Если за интервал начисления принимается год, то по про­шествии первого года наращенная сумма составит

.

Еще через год это выражение применяется уже к сумме S1:

,

и т. д. Очевидно, что по прошествии n лет наращенная сум­ма составит

.

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номи­нальная ставка процентов j – годовая ставка, по которой опреде­ляется величина ставки процентов, применяемая на каждом ин­тервале начисления.

При т равных интервалах начисления и номинальной про­центной ставке j эта величина считается равной j/m .

Если срок ссуды составляет п лет, то аналогично получаем выражение для определения наращенной суммы:

, (2.9)

где тп – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

В России в настоящее время наиболее распространенным яв­ляется начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодич­ностью, называются дискретными.

Сложные учетные ставки. При антисипативном методе начисления процентов, по прошествии п лет, наращенная сумма составит:

, (2.10)

где dс – сложная годовая учетная ставка.

Сравнивая формулы (2.8) и (2.10), легко видеть, что при равен­стве ссудного процента и учетной ставки наращение первона­чальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет быстрее. Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный – для кредитора. Это можно считать справедли­вым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение незначительно. Но с ростом процентной ставки разница в величине наращенной суммы становится огромной (при этом она сама растет с ростом n), и сравнение двух методов с точки зрения выгодности утрачивает смысл.

Эквивалентность процентных ставок. Часто при расчетах, проводимых по различным финансовым операциям, возникает необходимость в определении эквивалент­ных процентных ставок. Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случа­ях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения раз­личных процентных ставок.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок использу­ют уравнения эквивалентности, принцип составления которых за­ключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма S). На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквива­лентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между про­центными ставками различного вида.

; .

Приравнивая данные формулы, получаем уравне­ние эквивалентности для различных случаев сложных процентов:

;

. (2.11)

Полученная годовая ставка сложных про­центов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называ­ется эффективной ставкой сложных процентов, которую полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции или срав­нить процентные ставки в случае, когда используются различные интервалы начисления.

Аналогичным образом получаем зависимости между любыми другими эквивалентными процентными ставками, при этом можно сделать такие выводы:

1. Эквивалентность различных процентных ставок нико­гда не зависит от величины первоначальной суммы P (для данного рассматриваемого случая, когда первоначальная сумма P предполагается одинаковой).

2. Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления, за исключением случая эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).

Пример: Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 10 млн. руб. на пять лет:

а) под простую ставку в 30 % годовых;

б) под сложную ставку в 25 % при ежеквартальном начислении.

В данном случае не обязательно считать величину наращенной суммы, получаемой при различных процентных ставках. Поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно найти, например, простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, воспользовавшись формулами (2.7) и (2.11):

; ;

Так как простая процентная ставка (47,2 %), которая дала бы одинаковый с данной сложной процентной ставкой результат, значительно превышает предложенную (30 %), ясно, что гораздо выгоднее использовать сложную процентную ставку. Посчитаем теперь наращенные суммы, получаемые в обоих случаях, чтобы выяснить, насколько более выгодна сложная ставка:

а) S = 10000000 (1 + 5 · 0,3) = 25 000 000 (руб.);

б) S = 10000000 (1 + 0,25/4)20 = 33 618 521 (руб.).

Ощутимая разница в результатах подтверждает сделанный ранее вывод.

Можно заметить, что ре­шение примера с использованием эквивалентных про­центных ставок требует в два раза меньше вычислений.

Аннуитеты. В большинстве современных коммерческих операций подразу­меваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегу­лярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей. Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет – аннуитет (финансовая рента).

Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов до­ходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наибо­лее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.

Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками: величиной каждого отдельного платежа; интервалом времени между двумя последовательными плате­жами (периодом аннуитета); сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени – вечные аннуитеты); процентной ставкой, применяемой при наращении или дис­контировании платежей. Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) – пожалуй, самый распространенный случай. Наибольший интерес с практической точки зрения представ­ляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (по­стоянные аннуитеты) либо изменяются в соответствии с некото­рой закономерностью.

При заданной процентной ставке ic современное значение каждого платежа будет определяться по формуле

, (2.12)

где A k – современная величина k-го платежа аннуитета постну­мерандо;

Р – величина каждого отдельного платежа;

ic – сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;

k – коэффициент наращения аннуитета (находят по таблицам).

Современная величина и наращенная сумма аннуитета связаны между собой соотношением

, (2.13)

где п – число платежей.