1.3. Закономерности развития математики  

Различие между уровнями или ветвями математики необходимо влечет и различие в используемых методах. В практической математике во главу угла ставится эффективность количественных методов при решении тех или иных конкретных специальных задач. При этом ценность того или иного метода подсчета совершенно не зависит от степени его общности (пусть метод эффективно работает в данной конкретной ситуации, в другой можно придумать иной метод), а чисто математическая строгость зачастую приносится в жертву, особенно в тех случаях, когда путем нестрогих рассуждений быстро получается практически значимый результат. В теоретической математике, напротив, стремятся обеспечить наивысшую степень общности развиваемых методов и соблюсти максимальную логическую строгость рассуждений, используя для этой цели аксиоматический метод.

Поскольку целевые установки практической и теоретической математики различны, вопрос о закономерностях развития математики как целого (включающего оба уровня) может быть решен только после ответа на принципиальный вопрос о том, как эти уровни соотносятся между собой.

Прежде всего отметим, что практическая и теоретическая математика различны по происхождению. Практическая математика, обслуживающая хозяйственные операции, в той или иной форме возникает во всех древних цивилизациях (древневавилонской, египетской, китайской, индийской и др.), причем на весьма ранних ступенях их развития. Так, первые известные нам шумерские тексты экономико-математического содержания относятся к третьему тысячелетию до н.э. Что же касается теоретической математики, то ее доаксиоматическая ветвь возникает в целом ряде древних цивилизаций (например, древневавилонской или китайской) и связана с фактором социального характера — становлением специального математического образования («математика школы»), К этой ветви относятся, например, методы решения квадратных уравне- ний, изучавшиеся в древневавилонских писцовых школах. Сами эти методы не имели практического применения, но служили средством проверки правильности вычислений при обучении. Что же касается аксиоматической ветви теоретической математики, то ее возникновение — явление уникальное, поскольку своим рождением она обязана особой культурно-исторической ситуации, сложившейся в V в. до н.э. в Древней Греции. Сказанное выше приводит нас к необходимости выделения нескольких исторических периодов в развитии математики, для каждого из которых характерны разные формы взаимоотношения ветвей математики, а значит, и свои закономерности развития.

Содержание первого периода — до появления математики теоретической — состоит преимущественно в разработке вычислительных процедур, относящихся к практической математике. В этот период развитие математики определяется влиянием внешних, в первую очередь экономических, факторов и говорить о его закономерностях можно лишь в связи с общими закономерностями социально-экономических изменений, специфических для той или иной цивилизации.

С появлением доаксиоматических форм теоретической математики начинается второй период, для которого характерно тесное взаимодействие практически ориентированных вычислительных методов с развитием в рамках системы образования теоретических методов решения собственно математических проблем.

Третий период в развитии математики связан с появлением на исторической сцене аксиоматической ветви теоретической математики, которой впоследствии было суждено существенно изменить взаимоотношения между практической и теоретической математикой[22].

Второй этап взаимоотношений между практической и теоретической математикой оформляется в XVII в., когда в рамках теоретической математики появляются модели, служащие для количественного описания физического мира, а затем, с XIX в., и технических устройств. Начиная с этого времени наблюдается устойчивая тенденция вытеснения практической математики (как самостоятельной дисциплины) и ее превращения в гак называемую прикладную математику, т.е.

Указанная тенденция приводит к тому, что развитие математики в этот период (продолжающийся и по сей день) сводится, по сути, к прогрессу математики теоретической. При этом сама «чистая» математика все более и более ориентируется на аксиоматико-дедуктивный метод. Последнее обстоятельство находит свое теоретическое (философское) выражение и обоснование в рамках различных форм априоризма, в конечном итоге восходящих к точке зрения на математику И. Канта. Согласно Канту, математика — точнее, один из ее разделов, составляющий своеобразное ядро этой науки, — обладает безусловной (аподиктической) достоверностью, т.е. в принципе не может подвергаться трансформациям, затрагивающим ее сущность. Отсюда с необходимостью следует, что развитие математики (или ее аподиктического ядра) не может носить революционного характера (как это свойственно физике), но сводится исключительно к накоплению результатов (кумулятивный рост) за счет внутренних причин. Две тенденции наличествуют в таком развитии математики: она приобретает все более общий характер (см.

выделение трех базисных математических структур у Н. Бурбаки[23]) и одновременно разрастается вширь. Причем создание все более общих, абстрактных структур идет параллельно с поиском их (сугубо математических) интерпретаций (т.е. экстенсивным расширением математики). Оправданием для введения все более абстрактных идеализаций становится возможность их истолкования в терминах идеализаций более низкого уровня.

Ряд признаков свидетельствует, однако, о том, что указанный период в развитии математики, по-видимому, исчерпал свои внутренние потенции и что мы находимся в преддверии нового этапа, контуры которого можно очертить пока лишь весьма приблизительно. Дело в том, что идея редукции всей математики к ее чисто теоретической компоненте, а последней — к аксиоматико-дедуктивной форме, объективно ведет к увеличению разрыва между математикой и насущными потребностями экономического развития, с одной стороны, и математикой и образованием — с другой.

Первый факт относится к взаимоотношению математики и техники (под техникой мы будем понимать технологии вообще, в какой бы области они ни использовались). Еще в середине прошлого века, обсуждая этот вопрос, А.Н. Колмогоров писал: «Прямые... связи математики с техникой чаще (курсив мой. — Е.З.) имеют характер применения уже созданных математических теорий к техническим проблемам», подразумевая при этом, что «примеры возникновения новых математических теорий на основе непосредственных запросов техники» редки[24]. Если 50 лет назад такое положение вещей еще не воспринималось как проблема (техника не развивалась столь стремительно и запас готовых математических моделей был достаточен для ее обслуживания), то в настоящее время ситуация изменилась. Стремительная смена технологий приводит к необходимости создания буквально «на ходу» новых адекватных методов анализа количественных параметров. Наработанные за последние три столетия классические математические модели, созданные внутри самой математики, не всегда справляются с функцией математического обеспечения новых технологических процессов. В качестве примера можно привести современную теорию антикризисного управления, в которой ощущается острый недостаток адекватных математических ме- годов. Классические математические методы теории управления, развитые в XX в., в данной области чаще всего не удается применить.

Другая проблема, напрямую связанная с односторонним развитием математики как теоретической науки, возникает в сфере математического образования. Эта проблема не представляется особенно острой, когда речь идет о преподавании математики школьникам физико-математических школ и классов или о преподавании студентам-математикам.

Именно эту категорию учащихся, составляющих подавляющее большинство обучающихся математике в школе и в вузах, имеет в виду В.И. Арнольд, когда пересказывает историю, случившуюся с Ж.Ж. Руссо. Последний писал в своей «Исповеди», что долго не мог поверить в доказанную им самим формулу квадрата суммы, пока наконец не разрезал квадрат на два квадрата и два равных прямоугольника. Мораль этого примера проста. Единственный способ сделать осмысленным освоение математических формализмов (включая формализм арифметики) состоит в показе их предметных интерпретаций. Идея эта не нова. Еще на заре XX в. А. Пуанкаре предлагал обучать учащихся действиям с простыми дробями путем разрезания (хотя бы мысленно) либо круглого пирога, либо яблока. Такой метод преподавания позволяет избежать нелепых выводов, которые сплошь и рядом делают современные школьники, считая, например, что 1/2+1/з=2/5-

Подобного рода педагогические идеи идут в разрез с тем стилем математического образования, который, следуя Бурбаки, ставит во главу угла обучение учащихся аксиоматике, на основе которой строятся эффективные, но малопонятные для них математические формализмы. С точки зрения Бурбаки, математика представляет собой иерархию структур на множествах, начиная с простейших (например, структура группы), и заканчивается сложными, состоящими из нескольких порождающих структур. В число последних попадает, в частности, классический анализ. Следуя этой логике, начинать обучение математике надо с простейших формализмов, а заканчивать — теориями уровня математического анализа.

Такой подход к обучению игнорирует тот факт, что в реальной истории развития математики все обстояло с точностью до наоборот. Сначала (в значительной степени под влиянием механики, т.е. материальной предметности) появились нестрогие методы дифференциального и интегрального исчисления, и лишь затем были развиты удовлетворяющие современным критериям строгости соответствующие структуры и формализмы. Но это еще не все. В работах последних лет, написанных в рамках социокультурной философии математики, показано, что изложение математики в соответствии со строгим аксиоматическим подходом органично связано только с одним ее разделом — теоретической геометрией. Был также раскрыт механизм возникновения самого дедуктивного метода. А именно было показано, что греческая математика превратилась из науки о количественных отношениях реальных предметов в науку об идеальных объектах по существу благодаря случаю (невозможности использования египетских строительных приемов в прикладных целях)[25].

И последнее. Восходящая к Канту идея о том, что математика имеет абсолютно достоверное ядро, в последнее время подвергается критике как со стороны философов (К. Поппер, И. Лакатос, Ф. Китчер, А.Г. Ба- рабашев[26]), так и логиков и историков науки. В качестве примера последнего рода укажем на критику диагональной процедуры Г. Кантора, лежащую в основе многих разделов современной математики и до последнего времени считавшуюся логически корректной[27].

Указанные выше обстоятельства — стремительная смена технологий, кризис математического образования и критика идеи кумулятивного развития математики — можно рассматривать как признаки того, что математику в недалеком будущем ожидает переход в новое качество. Поскольку развитие культуры, в том числе культуры математической, совершается в результате сознательных действий людей (а не в процессе естественной эволюции, как это происходит в природе), то не только теоретической, но и чисто практической проблемой становится обоснование стратегий роста математики, исходя из анализа ее исторического развития в целом и особенностей наблюдаемых сейчас кризисных явлений.