IV. О знаках, которыми пользовался Фуси341, основатель китайского государства, в своих писаниях о двоичном счислении  

(68 а.) В этом счислении существует всего лишь два обозначения - О и 1, с помощью которых можно записать все числа [позже я обнаружил, что оно выражает также логику дихотомий, польза от которой величайшая, когда постоянно сохраняется точное противопоставление между членами деления]347 ; и когда я сообщил об этом преподобному] о[тцу] Буве, он сразу узнал здесь знаки Фуси, потому что они здесь точно соответствуют [друг другу] (при условии, что впереди числа будет поставлено столько нулей, сколько требуется, чтобы в на- именьшем из чисел было бы столько же черт, сколько и в наибольшем), если ставить прерванную черту (— —) вместо 0, или нуля, и

целую черту (              ) вместо единицы - 1.

самый простой способ производить перемены, поскольку имеется только два компонента. Так что можно думать, что Фуси обладал познаниями в науке о Сочетаниях (combinaisons), о которой я написал небольшую диссертацию в моей ранней юности и которую много времени спустя напечатали против моей воли348 . Но так как это счисление [как и эта логика lt;...gt;349 ] было совершенно утрачено, то китайцы более позднего времени были далеки от того, чтобы о нем догадаться. И они превратили эти знаки Фуси уж не знаю в какие символы и иероглифы, как обычно поступают, когда утрачивают истинный смысл, и как поступил добрый наш отец Кирхер в отношении письма египетских обелисков, в котором он ничего не понимал350 . И это показывает также, что древние китайцы чрезвычайно превосходили современных не только в благочестии (составляющем наиболее совершенную нравственность), но также и в науке.

(69.) Но поскольку это двоичное счисление, хотя и объяснявшееся в «Берлинских разностях»351, еще мало известно, а его сопоставление с символами Фуси можно найти лишь в Немецком журнале покойного господина Тензелиуса за 1705 г.352 , я хочу объяснить его здесь, где представляется, это будет совершенно кстати, поскольку речь идет о том, чтобы отдать должное учению (dogmes) древних китайцев, и о его предпочтительности [учению] современному. Единственно я добавлю, прежде чем к этому приступить, что покойный господин Андреас Мюллер353 , уроженец Грейфенхагена, бывший благочинным в Берлине и человек [совершенно] европейский, который, не покидая Европы, больше всего занимался китайскими иероглифами, выпустил в свет и сопроводил примечаниями то, что написал о Китае Абдаллах аль-Байдави (Abdalla Beidaveus)354; и этот арабский автор отмечает там, что Фуси открыл peculiare scribendi genus, Arithmeticam, contractus et Rationaria, особый способ письма, арифметику, сокращения355 и способы счета; и то, что он говорит об арифметике, соответствует моему объяснению символов этого царя-философа древности, показывающему, что они сводятся к числам.

(70.) Древние римляне пользовались смешанным счетом из пятеричного и десятеричного, и некоторые его остатки можно видеть еще на фишках356 .

завезено к нам из Испании, или по крайней мере стало более известным, благодаря знаменитому Герберту, в последствии папе [римскому], носившему имя Сильвестра И358 . Вероятно оно происходит от того, что у нас десять пальцев. Но поскольку это число произвольно, некоторые предложили вести счет дюжинами и дюжинами дюжин и т.д.359 Напротив, покойный госп[один] Эрхард Вейгель360 обратился к меньшему числу, связанному с четверицей, или тетрактисом по примеру Пифагора; так же как в ряду по 10 мы записываем все числа цифрами 0,1, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9, он записал все числа в своей четверичной прогрессии цифрами 0, 1,2, 3; например 321 у него обозначали 3 .42 + 2 .41 + 1, или же 48 + 16 + 1, т.е. 65 361 в общепринятом выражении.

(71.) Это навело меня на мысль, что в двоичной, или двойной прогрессии все числа могут быть записаны с помощью 0 и 1. Так

1

2 4 8

1 0 будет равно 1 0 0 будет равно 1 0 0 0 будет равно

и т.д. и т.д.

и т.д.

1              0              2

10              0              4

1 0 0              0              8

1 0 0 0              0              16

1 0 0 0 0              0              32

1 0 0 0 0 0              0              64

Эти выражения соответствуют гипотезе, например

111 = 100+10 4-1=4 + 2+1=7 11001 = 10000 + 1000 + 1 = 16 + 4 + 1 = 25362

Они могут быть также получены путем непрерывного прибавления единицы, например

Точки обозначают единицу, которую при обычном счете

363

держат в уме

10 0 0

И все ближайшие числа получат следующее выражение:

(71а.) Но для того, чтобы продолжить эту таблицу выражения идущих по порядку, или натуральных чисел сколь будет угодно, нет необходимости в вычислениях, ибо достаточно заметить, что каждый столбик является периодическим, одни и те же периоды повторяются до бесконечности; первый столбик содержит 0, 1, 0, 1, 0, 1 и т.д.; второй-О, О, 1, 1,0,0, 1, 1 и т.д.; третий-0, 0,0,0,1, 1,1,1,0,0,0,0, 1, 1, 1, 1 и т.д.; четвертый-0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,1, 1, 1,1, 1 и т.д. И так же другие рядом стоящие столбцы; при этом нужно иметь в виду, что пустые позиции под столбцом заполняются нулями.

(72.) Что касается сложения, то оно производится исключительно путем подсчитывания и отметок точками, когда имеются слагаемые числа; производите сложение каждого столбца обычным способом, что выполняется следующим образом. Сосчитайте единицы в столбце, если их, например 29. Взгляните, как это число записывается в Таблице, а именно в виде 11101; так что вы пишете единицу под столбцом и ставите точки под вторым, третьим и четвертым идущими затем столбцами. Эти точки показывают, что затем следует присчитывать в столбце на одну единицу больше.

(73.) Вычитание же совсем производится легко. Умножение сводится к простым сложениям и не требует таблицы Пифагора; достаточно знать, что 0 умножить на 0 будет 0, что 0 умножить на 1 будет 0, что 1 умножить на 0 будет 0 и что одиножды 1 будет 1.

(74.) Деление не требует перебора остатков (qu'on talonne) как при обычном вычислении. Нужно просто смотреть, является ли делитель больше или меньше чем предыдущий остаток. В первом случае знак в частном будет 0, во втором он будет 1, и делитель должен быть вычтен из предшествующего остатка, чтобы получить новый.

(75.) Это те удобные действия, которые один способный человек предложил364 , после введения этой системы счисления, для некоторых вычислений. Но главная польза состоит в том, что она сослужит большую службу в совершенствовании теории чисел, потому что здесь все происходит в соответствии с периодами и весьма заслуживающим внимания представляется то, что величины, получаемые при возведении в одну и ту же степень натуральных чисел и поставленные друг за другом, сколь бы ни была высокой эта степень, обладают не большими периодами, чем сами эти натуральные числа, являющиеся их корнями (прерывается без точки.)