ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ
Приступим к первой главе и скажем, сколько видов математики и каковы они. Необходимо знать, что суще&ствует четыре вида: арифметика, музыка, геометрия и аст&рономия.
Перейдем ко второй главе и скажем, почему столько видов математики. Необходимо знать, что математика основывается на количестве и образуется из следующих [вещей]: или из числа, как сама арифметика, ибо это есть количество; или из сочетания звуков, [которыми зани&мается] музыка, ибо и это есть количество, так как [му&зыка] исследует, что является октавой, что квинтой, что шестым [тоном] и что восьмым; или же из земельных расстояний, [которыми занимается] геометрия, ибо и это есть количество; или же из движения небесных тел, [ко&торыми занимается] астрономия, ибо это также есть ко&личество, так как движение обладает расстоянием, в со&ответствии с которым движутся [небесные тела].
После того как мы узнали, что математика основы&вается на количестве, необходимо знать, что существует два вида количества: непрерывное и прерывпое.
Непре&рывным является то количество, части которого соеди&няются па одной грани, как, например, монолит, который является непрерывным количеством, ибо если ты мыс&ленно разобьешь и отделишь во многих местах все его части, то расколотые и отделенные [в мысли] части соединятся [друг с другом] на одной грани, ибо, когда начнешь изучать воображаемую линию разреза, увидишь, что одна часть [точно] соединяется с другой. Ибо вообра&жаемая линия, производя мысленное разделение и нахо&дясь посредине между мысленно разделенными, в то же время одну часть соединяет с другой, а ту — с третьей. Таким образом, с помощью воображаемых линий части соединяются друг с другом [в одпо целое]. Но мы ска&зали, что мы лишь мысленно делим непрерывное, а не реально, так как, если мы действительно разделим его, оно превратится в прерывное и отойдет от природы не&прерывного. А прерывным количеством является то, что выступает раздельно, и у него нет ничего, что могло бы соединить одну часть с другой, как, например, в числах. Ибо десять есть прерывное [количество], и хотя оно об&разуется из пяти и пяти, состоящих из единиц, однако нет какого-нибудь числа в составе пятерок, посредством которого они смогли бы объединиться, ибо если отнять единицу от [этих двух] пятерок, то оно перестанет быть десяткой. Вот так [обстоит дело].Однако необходимо знать, что каждый из видов коли&чества бывает двояким. Прерывное количество бывает двояким, так как выступает и как отдельно взятое, и во взаимосвязи. Как отдельно взятое мы рассматриваем в том случае, когда отдельно берем какое-нибудь число само по себе, например когда отдельно рассматриваем де&сять, не ставя его в связь с другим числом. Во взаимо&связи же [оно] выступает тогда, когда какое-нибудь число мы берем в связи с другим числом, как, папример, десять по отношению к пяти, и говорим, что десять вдвое больше пяти. Непрерывное количество также бывает двояким, ибо оно бывает неподвижным и движущимся. Неподвижным, как земля, ибо она не передвигается с одного места на другое, а движущимся, как небо, кото&рое находится в вечпом движении.
Итак, как мы уже сказали, математика осповывается на количестве, а количество, сказали мы, выступает в двух видах — как прерывное и как непрерывное.
Мы сказали также, что каждый из этих двух видов бывает двояким: прерывное — взятое отдельно и во взаимосвязи, и непрерывное — неподвижное и движущееся. Итого че&тыре вида.И вот, математика, которая основывается па коли&честве, включает соответствеппо этим четырем видам количества: арифметику, музыку, геометрию и астроно&мию. Из них арифметика запимается прерывным коли&чеством, отдельно взятым; а музыка запимается прерыв&ным количеством, взятым в совокупности; геометрия же запимается неподвижным непрерывным количеством; а астрономия — подвижпым непрерывным количеством. Та&кова вторая глава.
Перейдем к третьей главе и скажем о порядке рас&положения видов математики. Необходимо знать, что арифметика и музыка ставятся на первое место перед геометрией и астрономией, так как арифметика и му&зыка образуются на основе прерывного количества, а геометрия и астрономия — на основе непрерывного количества. А прерывное количество предпочтительнее непрерывного, так как прерывное количество безоши&бочно может принимать различпые виды, как, например, двадцать пять, будучи прерывпым количеством, безоши&бочно принимает различные виды, являясь целым числом и квадратом [пяти]. Как целое, оно находится в связи с начальным числом [пять] и конечным. В данном слу&чае, взяв начало от пяти, после умножения завершается тем же числом — пятыо, папример пятью пять — два&дцать пять. Вот вам, начавшись с пяти, закончилось пятью.
Число также может выступать в виде квадрата, так как всякое число, умноженное па само себя, дает число в квадрате, как, папример, трижды три — девять, четырежды четыре — шестнадцать и пятыо пять — два&дцать пять. А непрерывное количество не может безоши&бочно принимать различные виды, так как если воску, являющемуся непрерывным количеством, придать облик Тиграна67, то воск не сможет принять облика, если ему заведомо была придана другая форма. В противном слу&чае произойдет смешение.
И вот, вследствие того, что прерывпое количество предпочтительнее непрерывного, арифметика и музыка, как образующиеся на оспове прерывного количества, ста&вятся перед геометрией и астрономией.
А арифметика в свою очередь предшествует музыке, ибо арифметика, как мы уже сказали, образуется па оспове отдельно взя&того прерывного количества; музыка же образуется па основе прерывпого количества, взятого в совокупности. А отдельно взятое предшествует взятому в совокупности, как единичное предшествует совокупному. Геометрия же предшествует астрономии, ибо геометрия образуется на основе неподвижного непрерывного количества, а астрономия — на основе подвижного непрерывного коли&чества. Неподвижное же предшествует движущемуся, ибо покой есть пачало движения, ибо все то, что собирается двигаться, берет начало движения из покоя и неподвиж&ности. Все это мы говорим о порядке расположения ви&дов математики.Теперь же давайте перейдем к четвертой главе и ска&жем о тех, кто создал эти виды. Следует зпать, что фи- пикийцы, будучи купцами, пуждались в счетном искус&стве и создали арифметику. Музыку же создали фра&кийцы, ибо оттуда происходил Орфей, который, говорят, впервые создал музыку. А астрономию создали халдеи, так как безоблачное и постоянно ясное небо давало им возможность изучать движение небесных тел. Геомет&рию же по необходимости создали египтяне, так как в Египте во время разливов Нила смешивались грапицы земельных наделов и среди египтян на каждой меже про&исходили драки и убийства, пока они не открыли ме&рило, которое называлось спанак68, и, измеряя им, пахо- дили грапицы каждого надела; в результате этого и воз&никла геометрия.
Теперь перейдем к пятой главе и скажем, каковы те виды, которые близко стоят к вышеупомянутым видам [математики]. Необходимо знать, что к арифметике близко стонт счетоведение, по они отличаются друг от друга, так как арифметика исследует и изучает природу чисел, и занимается умопостигаемыми числами, и не дро&бит единицу. А счетоведение занимается реальными чис&лами и дробит единицу на половину, на одну треть, на четверть. К [настоящей] музыке же близко стоит ма&териальная69 музыка, т. е. та, которая образуется с помо&щью лир, флейт и тарелок, а настоящая музыка для своего образования нуждается только в разуме.
А к гео&метрии близко стоит землемерное искусство, однако гео&метрия существует благодаря теоретическому мышлению, а землемерное искусство — благодаря практике. К астро&номии же близко стоит наука о шарообразных телах, и они отличаются друг от друга, так как астрономия обра&зуется из знаний о движении небесных тел, а наука о ша&рах занимается всеми шарообразными телами и их деле&нием, ибо повествует о различных сечениях шарообразных тел.Следует знать, что музыка обладает большой силой [воздействия], ибо повергает душу в различные состоя&ния и придает ей настроение, как об этом свидетельст&вуют лирические песни и элегии, которые соответственно настраивают душу. Так, некоторые сказители говорят об Александре70, что оп, будучи на пиршестве, услыхав военную мелодию, которую сыграл музыкант, тотчас же вооружился и вышел. А когда музыкант начал играть увеселительную мелодию, оп вновь вернулся к пиро&вавшим.
Такова с божьей помощью и данная глава.