Примечания
EXPLICATION DE L'ARITHMETIQUE BINAIRE, QUI SE SERT DES SEULS CARACTERES 0 ET I, AVEC DES REMARQUES SUR SON UTILITE, ET SUR CE QU'ELLE DONNE LE SENS DES ANCIENNES FIGURES CHINOISES DE FOHY[I]
Le calcul ordinaire d'Arithmetique se fait suivant la progression de dix en dix. On se sert de dix caracteres, qui sont 0,1, 2, 3,4, 5,6, 7,8,9, qui signifient z?ro, un et les nombres suivans jusqu'amp; neuf inclu- sivement. Et puis allant a dix, on recommence, et on ecrit dix par 10, et dix fois dix ou cent par 100, et dix fois cent ou mille par 1000, et dix fois mille par 10000, et ainsi de suite.
Mais au lieu de la progression de dix en dix, j'ai employe depuis plusieurs an- nees la progression la plus simple de toutes, qui va de deux en deux, ayant trouve qu'elle sert a la perfection de la science des Nombres. Ainsi je n'y employe point d'autres cara^res que 0 et 1, et puis allant a deux, je recommence. C'est pour- quoi deux s'ecrit ici par 10, et deux fois deux ou quatre par 100, ct deux lois qua- tre ou huit par 1000, et deux fois huit ou seize par 10000, et ainsi de suite. Voici la' Table des Nombres de celle fagon, qu'on peut continuer tant que l'on voudra.
On voit ici d'un coup d'oeil la raison d'une propriet? celebre de la progression Geometrique double en Nombres entiers, qui porte que si on n'a qu'un de ces nom-
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
3 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
5 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
6 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
7 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
8 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
9 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
10 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
11 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
12 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
13 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
14 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
17 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
18 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
19 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
20 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
21 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
22 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
23 |
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
24 |
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
25 |
|
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
26 |
|
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
27 |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
28 |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
29 |
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
30 |
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
31 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
32 |
|
etc. |
|
|
|
|
|
|
|
110 |
7 |
101 |
5 |
1110 |
14 |
|
111 |
6 |
1011 |
11 |
10001 |
17 |
|
1101 |
13 |
10000 |
16 |
11111 |
31 |
Pour
Г Addition, par example.
bres de chaque degre.
on en peut composer tous les autres nombres entiers au dessous du double du plus haut degre. Car ici, c'est comme si on disait par exemple, que 111 ou 7 est la somme de quatre, de deux et un, et que 1101 ou 13 est la somme de huit, quatre et un. Cette propriete sert aux Essayeurs pour peser toutes sortes de masses avec peu de poids et pourroit servir dans les monnoyes pour donner plusieurs valeurs avec peu de pieces.Cette expressions des Nombres etant 6tablie, sert a faire tres facile- ment toutes sortes d'operations.
|
|
1101 |
13 |
10000 |
16 |
11111 |
31 |
|
Pour la |
111 |
7 |
1011 |
11 |
10001 |
17 |
|
|
|
|
|
|||
|
Soustraction. |
110 |
6 |
1001 |
5 |
1110 |
14 |
Pour la
Multiplication. ®
|
11 |
7 |
101 |
5 |
101 |
5 |
|
11 |
6 |
11 |
3 |
101 |
5 |
|
11 |
|
101 |
|
101 |
|
|
11 |
|
101 |
|
1010 |
|
|
1001 |
9 |
1111 |
15 |
11001 |
25 |
|
15 |
-Ш1 1 |
101 II 5 |
|
|
|
|
3 |
Ml |
|
|
|
|
Pour la Division.
П
Et toutes ces орёгайопв sont si а18ёе8, qu'on n'a jamais besoin de rien essayer ni deviner, comme il faut faire dans la division ordinaire.
On n'a point besoin non plus de rien apprendre par coeur ici, comme il faut faire dans le calcul ordinaire, ой il faut savoir, par exemple, que 6 et 7 pris ensemble font 13, et que 5 тиШрНё par 3 donne 15, suivant la
Table d'une fois un est un, qu'on appelle Pythagorique. Mais ici tout cela se trouve et se prouve de source, comme Ton voit dans les exem- ples prec?dens sous les signes 3 et (•).
Cependant je ne recommande point cette maniere de compter, pour la faire introduire к la place de la pratique ordinaire par dix. Car outre qu'on est accoutume a celle-ci, on ny a point besoin d'y apprendre ce qu'on a appris par coeur: ainsi la pratique par dix est plus abregee, et les nombres у sont moins longs. Et si on etoit accoutume a aller par douze ou par seize, il у auroit encore plus d'avantage. Mais le calcul par deux, c'est-k-dire par 0 et par 1, en recompense de sa longueur, est le plus fondamental pour la science, et donne de nouvelles decouvertes, qui se trouvent utiles ensuite, meme pour la pratique des nombres, et surtout pour la Geometrie, dont la raison est que les nombres etant гё- duits aux plus simples principes, comme 0 et 1, il paroit partout un ordre merveilleux. Pour exemple, dans la Table meme des Nombres, on voit en chaque colonne regner des рёг^е8 qui recommencent toujours. Dans la premiere colonne c'est 01, dans la seconde 0011, dans la troisifcme 00001 111, dans laquatrifeme 000000001111 111 1, et ainsi de suite. Et, on a mis de petits zeros dans la Table pour remplir le vuide au commencement de la colonne, et pour mieux marquer ces p6riodes. On a mene aussi des lignes dans la Table, qui marquent que ce que ces lignes renferment revient toujours sous elles. Et il se trouve encore que les Nombres Quants, Cubiques et d'autres puissances, item les Nombres Triangulares, Pyramidaux et d'autres nombres figures, ont aussi de semblables p6riodes, de sorte qu'on en peut ecrire les Tables tout de suite, sans calculer. Et une prolixite dans le commencement, qui donne ensuite le moyen d'epargner le calcul et d'aller к l'infini par regie, est infiniment avantageuse.
Ce qu'il у a de surprenant dans ce calcul, c'est que cette Arithme- tique par 0 et 1 se trouve contenir le mystfcre des lignes d'un ancien Roi et Philosophe поттё Fohy, qu'on croit avoir v6cu il у a plus de quatre mille ans et que les Chinois regardent comme le Fondateur de leur Empire et de leurs sciences.
II у a plusieurs figures lineaires qu'on lui attribue, elles reviennent toutes к cette Arithmetique; mais il suffit de mettre ici la Figure de huit Cova comme on 1'appelle, qui passe pour fondamentale, et d'y joindre l'explication qui est manifeste, pourvu qu'onremarque premifcrement qu'une ligne entiere signifie l'unite ou 1,
et secondement qu'une ligne Ьп8ёе signifie le гёго ou 0.
|
= 2 |
000 |
0 |
0 |
|
|
001 |
1 |
1 |
|
=-= |
010 |
10 |
2 |
|
= |
Oil |
11 |
3 |
|
»я |
100 |
100 |
4 |
|
— — |
101 |
101 |
5 |
|
ssE |
110 |
110 |
6 |
|
= |
111 |
111 |
7 |
Les Chinois ont perdu la signification des Cova ou Lineations de Fohy, peut-etre depuis plus d'un miltenaire d'annees, et ils ont fait des Commentaires lamp;-dessus, ou ils ont cherche je ne s?ai quels sens eloi- gnes, de sorte qu'il a fallu que la vraie explication leur vint maintenant des Europeens.
Voici comment: II n'y a gueres plus de deux ans que j'envoyai au R. P. Bouvet, J?suite Fran?ais celebre, qui demeure a Pekin, ma manidre de compter par 0 et 1, et il n'en fallut pas davantage pour lui faire reconnaitre que c'est la clef des figures de Fohy. Ainsi m'ecrivant le 14 INovembre 1701, il m'a еотоуё la grande figure de ce Prince Phi- losophe qui va a 64, et ne laisse plus lieu de douter de la verite de notre interpretation, de sorte qu'on peut dire que ее Рёге a dechiffre Fenigme de Fohy, h l'aide de ce que je lui avois communiqu6. Et comme ces figures sont peut-etre le plus ancien monument de science qui soit au monde1, cette restitution de leur sens, apres un si grand intervalle de tems, paroitra d'autant plus curieuse.
Le consentement des figures de Fohy et ma Table des Nombres se fait mieux voir, lorsque dans la Table on suppte6 les zeros initiaux, qui paroissent superflus, mais qui servent к mieux marquer la periode de la colonne, comme je les у ai supplees en effet avec des petits ronds pour les distinguer des zeros necessaires, et cet accord me donne un grande opinion de la profondeur des meditations de Fohy. Car ce qui nous paroit aise maintenant, ne l'?toit pas [du] tout dans ces tems eloignes. L'Arithm6tique Binaire ou Dyadique est en effet fort aisee aujourd'hui, pour peu qu'on у pense, parce que notre maniere de compter у aide beaucoup, dont il semble qu'on retranche seulement le trop. Mais cette Arithmetique ordinaire pour dix ne paroit pas fort ancienne, au moins les grecs et les Romains l'ont ignoree et ont ete prives de ses avantages. II semble que FEurope en doit Fintroduction a Gerbert, depuis Pape sous le nom de Sylvestre II, qui Fa eue des Maures d'Espagne.
Or comme Fon croit h la Chine que Fohy est encore auteur des cara^res Chinois, quoique fort alteres par la suite des tems; son essai d'Arithm?tique fait juger qu'il pourroit bien s'y trouver encore quelque chose de considerable par rapport aux nombres et aux id6es, si Fon pouvoit deterrer le fondement de Fecriture Chinoise, d'autant plus qu'on croit к la Chine, qu'il a eu egard aux nombres en l'?tablissant. Le R. P. Bouvet est fort porte a pousser cette pointe, et tres capable d'y reussir en bien des manieres. Cependant je ne sgai s'il у a jamais eu dans F6criture Chinoise un avantage approchant de celui qui doit etre. пёсе8- sairement dans une Caract6ristique que je projette. C'est que tout rai- sonnement qu'on peut tirer des notions, pourroit etre tire de leurs Car- a^res par une maniere de calcul, qui seroit un des plus importans mo- yens d'aider l'esprit humain.
ОБЪЯСНЕНИЕ ДВОИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ, употребляющего лишь символы 0 и 1, с замечаниями о пользе его и о том, что оно открывает смысл древних китайских начертаний Фуси (Мемуар Академии Наук, 1703 г.)
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
etc.
- Обычное арифметическое ис-
- числение выполняется согласно
- последовательности [чисел, идущей]
- от десятки к десятке. При этом ис-
- пользуются десять символов, кото-
- рые суть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и оз-
- начают ноль, единицу и последую-
- щие числа, включая девять. Затем же, g дойдя до десяти, начинают сначала и 9 записывают десять как 10; десятью де-
- сять, или сто, как 100; десятикратно
- сто, или тысячу, как 1000; и десяти-
- кратно тысячу — как 10 000 и так далее.
- Однако я уже несколько лет вме-
- сто последовательности от десяти к
- десяти пользуюсь самой простой про- 15 грессией из всех, идущей по двойкам 17 (de deux en deux), найдя, что она спо- lg собствует усовершенствованию тео-
- рии чисел.
- Таким образом я употребляю
- лишь символы 0 и 1 и никакие дру-
- гие, и дойдя до двух, я возобновляю
- [счет]. А потому два записывается
- здесь как 10; дважды два, или четыре,
- как 100; дважды четыре, или восемь,
- как 1000; и дважды восемь, или ше-
- стнадцать, как 10 000 и так далее. Вот
- таблица чисел этого рода, которую
- можно продолжать сколько угодно.
- При первом взгляде здесь мож-
- но увидеть действие (la raison) одно-
- го замечательного свойства двойной геометрической прогрессии из целых чисел, которое позволяет при нали-
чии одного такого числа любой ступени (de chaque degre) получить (composer) из него все другие целые числа, меньшие этого двоичного [числа] с наибольшим количеством разрядов. Ибо здесь [происходит] так, как если сказать, к примеру, что 111, или 7, есть сумма четверки, двойки и единицы; и что 1101, или 13, есть сумма восьмерки, четверки и единицы. Это свойство помогает пробирщикам взвешивать всякого рода составы (masses) при помощи небольшого количества гирь и могло бы послужить при чеканке монет для набора любых (plusieurs) стоимостей при небольшом наборе монет.
Введение этого способа выражения чисел позволяет легко выполнять все виды действий.
И все эти действия настолько легки, что совершенно нет необходимости что-либо проверять или угадывать, как приходится делать при обычном делении, здесь также нет необходимости что-либо запоминать наизусть, как при обычном счете, где нужно знать, например, что 6 и 7 при сложении дадут 13, и что 5, помноженное на три даст 15 согласно таблице «одиножды один», называемой пифа-
|
При |
|
110 ill |
7 6 |
101 1011 |
5 11 |
1110 10001 |
14 17 |
|
сложении, например. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1101 |
13 |
10000 |
16 |
11111 |
31 |
||
|
При |
|
1101 111 |
13 7 |
10000 1011 |
16 11 |
11111 10001 |
31 17 |
|
вычитании. |
|
110 |
6 |
1001 |
5 |
1110 |
14 |
|
11 |
7 |
101 |
5 |
101 |
5 |
|
11 |
6 |
И |
3 |
101 |
5 |
|
11 |
|
101 |
|
101 |
|
|
11 |
|
101 |
|
1010 |
|
|
1001 |
9 |
1111 |
15 • |
11001 |
25 |
|
15 |
«11 1 |
101 II 5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
При
умножении.
®
При делении.
п
горической. Здесь же все это содержится и подтверждается в истоке (se prouve de source), как можно видеть на предыдущих примерах под символами )и (•).
Между тем, я не рекомендую этот способ счета для введения его вместо обычной практики считать десятками. Ибо кроме того, что она вошла в привычку, в ней нет необходимости [вновь] заучивать, что уже выучено наизусть: таким образом, счет десятками более краток, и числа в нем короче. А если бы вошло в привычку считать дюжинами или шестнадцатерицами, это дало бы еще больше преимуществ. Однако счет двойками, х е. с помощью 0 и 1, в качестве компенсации того, что он длинен, оказывается наиболее фундаментальным в научном отношении и позволяет сделать новые открытия, которые в последствии окажутся полезными даже для операций с числами и более всего для геометрии - по той простой причине, что при сведении чисел к простейшим принципам, таким как 0 и 1, всюду обнаруживается удивительный порядок, например, в той же Таблице чисел в каждом столбце видно, как господствуют периоды, которые постоянно возобновляются: в первом столбце - это 01, во втором — 0011, в третьем - 0000 1111, в четвертом 0000 0000 1111 1111 и так далее. А маленькие нолики поставлены в Таблице, чтобы заполнить пустоты в начале столбца и лучше обозначить эти периоды. В Таблице проведены также линии, которые указывают, что отчеркиваемое ими все время повторяется под ними. И оказывается еще, что числа квадратные, кубические и других степеней, а также треугольные, пирамидальные и другие фигуральные числа также обладают аналогичными периодами. Так что из них тотчас же можно составить таблицу, не прибегая к расчетам. И [кажущаяся] растянутость в начале, дающая затем способ обойтись без вычисления и до бесконечности следовать правилу, открывает неограниченные преимущества.
Что поразительно в этом исчислении, это то, что данная арифметика, основанная на 0 и 1, заключает, оказывается, в себе тайну черточек древнего царя и философа по имени Фуси, который, как полагают, жил более четырех тысяч лет тому назад, и которого китайцы считают основателем их государства и их наук. Существуют различные линейные начертания, которые ему приписываются; все они сводятся к этой арифметике, но здесь достаточно привести схему «восьми гуа», как ее называют, которая считается основополагающей, и дать к ней объяснение, которое очевидно, если принять прежде всего
условие, что целая черта ( ) означает единицу, или 1, и что, во-
вторых, прерванная черта (— —) означает нуль, или 0.
|
=Н |
ООО |
0 |
0 |
|
== |
001 |
1 |
1 |
|
ЕЕ |
010 |
10 |
2 |
|
== |
011 |
11 |
3 |
|
55 |
100 |
100 |
4 |
|
|
101 |
101 |
5 |
|
——• |
110 |
110 |
6 |
|
= |
111 |
111 |
7 |
За более, возможно, чем тысячу лет китайцы утратили значение гуа, или линейных символов Фуси, и они составили к ним комментарии, в которых устанавливали не знаю уж какой отдаленный смысл; так что потребовалось, чтобы верное объяснение пришло к ним теперь от европейцев. Вот как это случилось: не более чем два года тому назад я отправил Пр. о. Буве, известному французскому иезуиту, живущему в Пекине, мой метод счета с помощью 0 и 1, и ему этого было вполне достаточно, чтобы увидеть здесь ключ к начертаниям Фуси. Так что с письмом от 14 ноября 1701 г. он мне послал большую схему царя-философа, которая доходит до 64 [символов] и не оставляет места сомнению в правильности нашей интерпретации; таким образом можно сказать, что сей отец расшифровал загадку Фуси с помощью того, что я ему сообщил. И поскольку эти начертания являются, может быть, самым древним научным памятником, существующим на свете, это возвращение их смысла после столь большого промежутка времени покажется тем более удивительным.
Соответствие начертаний Фуси и моей таблицы чисел становится более ясным, если добавить на таблице начальные нули, которые кажутся излишними, но которые позволяют лучше показать период столбца, как я их действительно и представил маленькими кружочками ради отличения их от необходимых нулей. И указанное соответствие позволяет мне составить высокое мнение о глубине прозрений (m6ditations) Фуси. Ибо то, что кажется нам теперь легким, вовсе не было таковым в те далекие времена. Двоичное исчисление (Arithmetique Binaire), или двоичность (Dyadique), в самом деле сегодня является довольно легким делом, хотя об этом почти не задумываешься, потому что наш способ счета здесь очень помогает, благодаря чему кажется, что отсекается только лишнее, но это обычное исчисление десятками не представляется слишком древним; по крайней мере, греки и римляне его не знали и были лишены его преимуществ. Кажется, что Европа обязана его введением Герберту - впоследствии папе, носившему имя Сильвестра II, который его (этот счет) получил от испанских мавров.
Итак, поскольку в Китае считают, что Фуси является также создателем китайских иероглифов, хотя и сильно изменившихся с течением времени, его достижение в арифметике позволяет судить, что здесь вполне могло содержаться еще кое-что значительное, касающееся чисел и идей, если можно было бы откопать фундамент китайской письменности; тем более, что в Китае полагают, что оно имело отношение к числам при его установлении (enl'etablissant). Пр. о. Буве весьма склонен развивать эту точку зрения и вполне способен преуспеть во многих отношениях. В то же время я не знаю, было ли в китайской письменности когда-либо преимущество, близкое к тому, каким необходимо должна обладать Характеристика, которую я проектирую: то, что весь ход рассуждений (raisonnement), какой позволяют из себя абстрагировать (tirer) понятия, может быть извлечен из их символов (caracteres) с помощью исчисления, обещающего стать одним из наиболее важных способов продвинуть человеческий ум.