ПРАВИЛО XVIII
Многочисленность правил часто проистекает из неопыт&ности учителя, и то, что могло бы быть сведено к единому общему предписанию, становится менее очевидным, если разделяется на многие частности.
Вот почему все действия, которыми нужно пользоваться при рассмотрении вопросов, т. е. при выведении каких-то величин из других, мы сво&дим здесь лишь к четырем главным; то, каким образом они оказываются достаточными, познается из их объяс&нения.А именно, если мы приходим к познанию одной вели&чины благодаря тому, что мы знаем части, из которых она составлена, это делается посредством сложения; если мы узнаём часть благодаря тому, что знаем целое и превыше&ние целого над той же самой частью, это делается посред&ством вычитания; и какая-либо величина не может быть большим числом способов выведена из других, взятых в аб&солютном смысле, величин, в которых она определенным образом содержится. Если же какая-либо величина должна быть найдена на основании других, от которых она совер&шенно отлична и в которых она никоим образом не содер&жится, необходимо соотнести ее с ними каким-нибудь спо&собом; и когда это отношение, или соответствие, нужно обозреть прямо, тогда следует пользоваться умножением, когда косвенно — делением.
Чтобы ясно описать два последних действия, надо знать, что единица, о которой мы уже говорили, является здесь основанием и фундаментом всех отношений и в ряде не&прерывно пропорциональных величин она занимает пер&вую ступень, данные же величины содержатся на второй ступени, а искомые — на третьей, четвертой и остальных, если соотношение прямое, если же оно косвенное, искомая величина содержится на второй и других промежуточных ступенях, а данная — на последней.
Действительно, когда говорится, что, как единица отно&сится к а, или к данному числу 5, так Ъ, или данное число 7, относится к искомому, которое равно аЪ, или 35, тогда а и Ь находятся на второй ступени, и ab> являющееся их произ&ведением,— на третьей.
Равным образом, когда добавляют, что, как единица относится к с, или 9, так аЬ, или 35, отно&сится к искомому аЪс, или 315, тогда аЬс находится на четвертой ступени и получается посредством двух действий умножения аЬ на с, т. е. величин, находящихся на второй ступени, и т. д. Равным образом, как единица относится к а, (или) 5, так а, (или) 5, относится к а2, или 25; и опять- таки как единица относится к (а, или) 5, так а2, (или) 25, относится к а3, (или) 125; и, наконец, как единица относит&ся к а, (или) 5, так а3, (или) 125, относится к а4, т. е. к 625, и т. д.: ведь когда одна и та же величина умножается на са&му себя, умножение производится так же, как и тогда, ког&да она умножается на другую, совершенно отличную от нее величину.
Когда же теперь говорится, что, как единица относится к ау или 5, данному делителю, так Bt или искомое число 7, относится к аЬ, или 35, данному делимому, тогда порядок является обратным и косвенным, вследствие чего искомое В не может быть получено иначе, кроме как посредством деления данного аЬ на а, также данное. Равным образом, когда говорится, что, как единица относится к А, или иско&мому числу 5, так А, или 5,искомое, относится к а2, или 25, данному; или же как единица относится к А, (или) 5, иско&мому, так А2, или 25, искомое, относится к а3, или 125, данному, и т. д. Все это мы охватываем названием «деле&ние», хотя следует отметить, что последние из примеров такого вида заключают в себе большее затруднение, чем первые, ибо в них чаще встречается искомая величина, которая поэтому предполагает многие отношения. Ведь смысл этих примеров тот же самый, как если бы было сказано, что надо извлечь квадратный корень из а2, или (из) 25, либо кубический из а3, или из 125, и т. д.; такой способ выражения употребителен у счетчиков. Или, если объяснить их также в терминах геометров, это то же самое, как если бы было сказано, что надо найти среднюю пропор&циональную между той принятой величиной, которую мы называем единицей, и той, которая обозначается а2, либо две средние пропорциональные между единицей и а3, и т.
д.Из этого легко сделать вывод о том, каким образом двух названных действий достаточно для отыскания любых ве&личин, которые должны быть выведены из других величин благодаря какому-либо отношению. После того как мы по&няли это, нам следует изложить, каким образом эти дейст&вия должны быть рассмотрены воображением и каким об&разом они должны также предстать перед глазами, для того чтобы затем мы наконец объяснили их использование, или применение.
Если нужно произвести сложение или вычитание, мы представляем себе предмет в виде линии или в виде протя&женной величины, в которой должна быть рассмотрена только длина: действительно, если нужно прибавить линию
а ь b а I I і і к линии о і і і ,
мы присоединяем одну к другой таким образом: аЬ a b
и получается с
с
JL
N
J I I 1 1
Если же нужно вычесть меньшую величину из большей,
ь b а
а именно о і і і из а ¦ ¦ ¦ ¦ , мы накла&дываем одну из линий на другую таким образом: а I I I
b і » і і , и тогда мы получаем ту часть боль&шей, которая не может быть прикрыта меньшей,
а именно: .
При умножении мы также представляем себе данные величины в виде линий, однако мы воображаем, что из них может быть составлен прямоугольник: действительно, если
a b мы умножаем а \ » і і на b 1 1 I ,
мы прикладываем одну линию к другой под прямым углом таким образом: а
1 Г
и получается прямоугольник
b
I \
т I I
_L
Опять-таки, если мы хотим умножить ab на с с
' ' ¦ ' ' , то следует представить ab как
ab
линию, а именно ab t
с тем чтобы получить для аЬс:
ab
1
I Л
Наконец, при делении, в котором дан делитель, мы во&ображаем, что делимая величина представляет собой пря&моугольник, одна сторона которого является делителем, а другая — частным; так, если прямоугольник ab нужно раз&делить на а,
а
b
сл
из него убирают ширину а, и остается Ь в качестве част- Ь
ного: г л . Или, наоборот, если тот же пряхмо-
угольник делят на Ъ> то убирают высоту Ь, и а будет част-
а
^ ч
ным: г .
Что же касается тех делений, в которых делитель не дан, а только обозначен через посредство какого-либо отно&шения, как, например, когда говорится, что нужно извлечь квадратный или кубический корень и т.
д., то следует отме&тить, что в этих случаях и подлежащий делению, и все другие термины нужно всегда представлять себе как ли&нии, расположенные в ряде непрерывно пропорциональ&ных величин, первой из которых является единица, а пос&ледней — делимая величина. О том, каким образом между этой величиной и единицей должно быть найдено сколько угодно средних пропорциональных, будет сказано в своем месте. Теперь же достаточно уведомить, что здесь, как мы предполагаем, подобные действия еще не были доведены до совершенства, так как они должны производиться при посредстве непрямых и обратных актов воображения, а сей&час мы говорим только о вопросах, которые следует обоз&ревать прямо.Что касается других действий, то они, конечно, весьма легко могут быть осуществлены тем способом, которым, как мы сказали, их надлежит понимать. Вместе с тем оста&ется изложить, каким образом должны быть подготовлены используемые в них термины; ибо, хотя, впервые зани&маясь каким-либо затруднением, мы вольны представлять себе его термины как линии или как прямоугольники и никогда не приписывать этим терминам других фигур, как было сказано в четырнадцатом правиле, тем не менее в рас&суждении часто бывает, что прямоугольник, после того как он был образован умножением двух линий, затем следует представлять себе в виде линии, для того чтобы выполнить другое действие, либо тот же самый прямоугольник или линию, полученную в результате какого-то сложения или вычитания, затем следует представлять себе как некоторый другой прямоугольник, построенный на обозначенной ли&нии, которой он должен быть разделен.
Итак, здесь стоит изложить, каким образом всякий пря&моугольник можно преобразовать в линию и в свою оче&редь линию или даже прямоугольник — в другой прямо- угольник, сторона которого обозначена. Это весьма легко сделать геометрам, если только они заметят, что в виде линий, всякий раз когда мы, как здесь, сравниваем их с ка&ким-либо прямоугольником, мы неизменно представляем себе прямоугольники, одна сторона которых является той длиной, какую мы приняли за единицу.
Ведь тогда вся эта задача сводится к положению такого вида: по данному пря&моугольнику построить другой, равный ему, на данной сто&роне.Хотя это действие известно даже новичкам в геомет&рии, тем не менее мне хочется объяснить его, чтобы не показалось, будто я что-либо упустил.
ПРАВИЛО XIX
Посредством этого метода рассуждения нужно отыски&вать столько величин, выраженных двумя различными спо&собами, сколько неизвестных терминов мы допускаем в ка&честве известных, для того чтобы прямо обозреть затруд&нение; ибо таким образом мы будем иметь столько же срав&нений между двумя равными терминами.
ПРАВИЛО XX
Отыскав уравнения, нужно произвести опущенные на&ми действия, ни в коем случае не пользуясь умножением тогда, когда будет уместно деление.
ПРАВИЛО XXI
Если имеется много таких уравнений, их все необходи&мо свести к одному, а именно к тому, члены которого зай&мут меньшее число ступеней в ряде непрерывно пропорциональных величин, соответственно каковому они и должны быть расположены по порядку.