ПРАВИЛО XVI
Впрочем, поскольку мы сказали, что из бесчисленных измерений, которые могут быть изображены в нашей фан&тазии, нужно созерцать одним взором глаз или ума не более двух различных измерений, то важно удерживать в памяти все остальные таким образом, чтобы они легко представ&лялись всякий раз, когда потребует необходимость; по-ви&димому, с этой целью память и была создана природой.
Но так как память зачастую подвержена ошибкам, то для того, чтобы мы не были вынуждены уделять некоторую часть нашего внимания ее восстановлению, в то время ког&да мы заняты другими мыслями, искусство весьма кстати открыло возможность применения письменности. Пола&гаясь на ее помощь, мы здесь совершенно ничего не вверя&ем памяти, но, предоставив свободной фантазии в целом наличные идеи, изображаем на бумаге все, что должно быть сохранено, и делаем это посредством наиболее сокращен&ных знаков, чтобы, после того как в соответствии с девя&тым правилом мы рассмотрели каждый из них в отдель&ности, мы смогли в соответствии с одиннадцатым правилом обозреть их все в наибыстрейшем движении мысли и одно&временно охватить взором наибольшее их число.Итак, все, что для разрешения затруднения надлежит рассматривать как нечто единое, мы будем обозначать од&ним знаком, который может быть изображен как угодно. Но ради удобства мы воспользуемся буквами а, Ь, с и т. д. для выражения уже известных величин иі,5,Сит. д. для вы&ражения неизвестных. Мы часто будем ставить перед ними цифры 2, 3, 4, и т. д. для того, чтобы обозначить коли&чество этих величин; вместе с тем мы будем располагать цифры и позади них, для того чтобы обозначать число отно&шений, которые надлежит в них уразуметь: так, если я напишу 2а3, это будет то же самое, как если бы я сказал: удвоение величины, обозначаемой буквой а и содержащей три отношения.
И благодаря этому приему мы не только произведем сокращение многих выражений, но и, что осо&бенно важно, представим термины затруднения в столь чи&стом и подлинном виде, что, не упуская ничего полезного, мы вместе с тем никогда не найдем в них ничего излиш&него и того, что напрасно отвлечет способности ума, в то время как нужно будет одновременно охватить умом мно&гие вещи.Для того чтобы яснее уразуметь все это, нужно прежде всего заметить, что счетчики имели обыкновение обозна&чать каждую из величин посредством многих единиц или посредством какого-либо числа, мы же в данном случае отвлекаемся от самих чисел не меньше, чем несколько ра&нее от геометрических фигур или от любой другой вещи. Мы делаем это как для того, чтобы избежать пресыщения долгим и ненужным вычислением, так и в особенности для того, чтобы части предмета, которые имеют отношение к природе затруднения, всегда оставались раздельными и не скрывались за бесполезными числами: например, если оты&скивается основание прямоугольного треугольника, дан&ные стороны которого равняются 9 и 12, счетчик скажет,
что оно равно -^225, или 15; мы же вместо 9 и 12 поставим а и Ь и найдем, что основание равно д/а2 + Ь2, при этом те
два члена а2 и Ь2, которые в числе являются слитыми, оста&нутся раздельными.
Нужно также заметить, что под числом отношений над&лежит понимать следующие в непрерывном порядке про&порции, которые в общепринятой алгебре иные пытаются выразить посредством многих измерений и фигур; первую из них они называют корнем, вторую — квадратом, тре&тью — кубом, четвертую — биквадратом и т. д. Признаюсь, что эти названия долгое время вводили меня самого в заб- луждение, ибо мне казалось, что после линии и квадрата моему воображению ничто не может представиться яснее, чем куб и другие фигуры, созданные по их подобию; и дей&ствительно, с помощью этих фигур я разрешил немало зат&руднений. Однако в конце концов после многих опытов я убедился в том, что никогда не находил благодаря этому способу понимания ничего такого, чего я не сумел бы поз&нать гораздо легче и отчетливее и без него, а также в том, что нужно полностью отбросить такие названия, чтобы не извратить ими наше представление, ибо одна и та же вели&чина, хотя она и называется кубом или биквадратом, тем не менее, согласно предшествующему правилу, никогда не должна представляться воображению иначе как в виде ли&нии или поверхности.
Поэтому нужно особо отметить, что корень, квадрат, куб и т. д. являются не чем иным, как неп&рерывно пропорциональными величинами, которым, как предполагается, всегда предпослана та принятая единица, о коей мы уже говорили выше. Первая пропорциональная величина связана с этой единицей непосредственно и одним лишь отношением, вторая же связана с ней через посред&ство первой и потому — двумя отношениями, третья — че&рез посредство первой и второй и тремя отношениями и т. д. Итак, отныне мы будем называть первой пропорциональ&ной ту величину, которая в алгебре именуется корнем, вто&рой пропорциональной — ту, которая именуется квадра&том, и т. д.Наконец, нужно заметить, что, хотя мы отвлекаем здесь термины затруднения от некоторых чисел для того, чтобы исследовать его природу, тем не менее часто бывает так, что оно может быть разрешено более простым способом с по&мощью данных чисел, чем если бы оно было отвлечено от них: это происходит благодаря двойному применению чи&сел (которого мы уже коснулись ранее), а именно потому, ^что одни и те же числа раскрывают то порядок, то меру. И стало быть, после того как мы исследовали это затруд&нение, выраженное в общих терминах, нужно свести его к данным числам, чтобы увидеть, не наведут ли они нас тог&да, быть может, на какое-то более простое решение: на&пример, после того как мы увидели, что основание пря&моугольного треугольника со сторонами а и b равно
~уа2-\-Ь2 и что вместо а2 надо поставить 81, а вместо b2 —
144, т. е. числа, дающие в сумме число 225, корень которого, или средняя пропорциональная между единицей и 225, ра&вен 15, мы из этого узнаем, что основание 15 соизмеримо со сторонами 9 и 12, но не потому, что оно вообще является основанием прямоугольного треугольника, одна сторона которого относится к другой, как 3 к 4. Все это различаем мы, стараясь обрести очевидное и отчетливое познание ве&щей, а не счетчики, которые, когда им попадается искомая сумма, бывают удовлетворены, даже если они не замечают, каким образом она зависит от данных чисел; однако только в этом, собственно, и заключается наука.
Вообще же следует заметить, что никогда не нужно вве&рять памяти какую-либо из тех вещей, которые не требуют постоянного внимания, если мы можем изложить их на бу&маге, а именно для того, чтобы бесполезным воспомина&нием не отвлекать какую-то часть нашего ума от познания наличного объекта.
И надо составить таблицу, в которую мы запишем термины вопроса в том виде, в каком они будут изначально представлены, а затем то, каким образом они отвлекаются и посредством каких знаков выражаются, чтобы, после того как решение будет найдено в этих самых знаках, мы легко и без всякой помощи памяти применили его к частному предмету, о котором будет стоять вопрос; действительно, никогда нельзя отвлекать что-либо, кроме как от чего-то менее общего. Итак, я пишу следующимобразом: в прямоугольном тре&угольнике ABC отыскивается осно&вание АС,— и представляю затруд&нение в отвлеченном виде, чтобы вообще отыскивалась величина ос&нования по величинам сторон; за&тем вместо стороны АВ, которая равна 9, я ставлю а, вместо сторо&ны ВС, которая равна 12, я став&лю Ь, и т. д.
Необходимо отметить, что мы еще воспользуемся этими четырьмя правилами в третьей части настоящего тракта&та и будем понимать их несколько шире, чем они были истолкованы здесь, так, как будет сказано в своем месте.