ПРАВИЛО XIV  

Для того же, чтобы воспользоваться также и помощью воображения, следует отметить, что всякий раз, когда выво&дится нечто неизвестное из чего-либо другого, уже заранее известного, вследствие этого не открывается какой-то но&вый род сущего, но все это знание лишь расширяется до такой степени, что мы представляем себе искомую вещь тем или иным способом приобщенной к природе того, что дано в положении.

Конечно, все эти уже известные сущности, каковыми являются протяжение, фигура, движение и им подобные, которые здесь неуместно перечислять, познаются по&средством одной и той же идеи в различных предметах, и мы не представляем себе по-разному фигуру венца, будь он серебряный или золотой; эта общая идея переносится с одного предмета на другой не иначе как посредством простого сравнения, благодаря которому мы утверждаем, что искомое является в том или ином отношении подобным, либо тождественным, либо равным чему-то данному, так что во всяком рассуждении мы точно познаем истину толь&ко посредством сравнения.

Далее следует отметить, что к такому равенству не может быть сведено ничего, кроме допускающего большее и меньшее, и что все это охватывается названием «вели&чина», так что, после того как в соответствии с предшест&вующим правилом термины затруднения были отвлечены от любого предмета, мы понимаем, что отныне будем зани&маться только величинами вообще.

Но для того чтобы и тогда воображать нечто и поль&зоваться не чистым разумом, а разумом, прибегающим к помощи образов, рисуемых в фантазии, следует, наконец, отметить, что о величинах вообще нельзя сказать чего-либо, что не могло бы быть отнесено и к каждой из них в отдель&ности.

Из этого легко заключить, что будет весьма полезно, если мы перенесем то, что, по нашему разумению, мож&но сказать о величинах вообще, на тот вид величины, ко&торый и легче и отчетливее всего рисуется в нашем вооб- ражении; а таким является реальное протяжение тел, от&влеченное от всего иного, кроме того, что оно обладает фи&гурой; это следует из сказанного в двенадцатом правиле, где мы представляли себе саму фантазию вместе с содер&жащимися в ней идеями не чем иным, как подлинно реаль&ным, протяженным и обладающим фигурой телом.

Здесь нам хотелось бы найти читателя, склонного к за&нятиям арифметикой и геометрией, хотя я предпочел бы, чтобы он еще не занимался названными науками, нежели был обучен им по общему обыкновению: ведь применение излагаемых мною здесь правил в изучении этих наук, для которого оно вполне достаточно, является гораздо более легким, чем применение их в вопросах любого другого рода; и польза от этого для достижения более возвышенной мудрости столь велика, что я не побоюсь сказать, что дан&ная часть нашего метода была открыта не благодаря мате&матическим проблемам — скорее сами они должны изучаться почти исключительно ради совершенствования этого метода. И я не предполагаю в упомянутых дисцип&линах ничего, кроме, быть может, некоторых вещей, кои известны сами по себе и доступны каждому; однако их по&знание, каким обычно обладают иные люди, даже если оно не искажено какими-либо явными ошибками, тем не менее затемняется многочисленными двусмысленными и непра&вильно понятыми принципами, что мы попытаемся в раз&ных местах исправить в дальнейшем.

Под протяжением мы разумеем все то, что обладает длиной, шириной и глубиной, не рассматривая, реальное ли это тело или только пространство; и, кажется, нет нужды в более обстоятельном объяснении, ибо нет ничего, что легче представлялось бы нашим воображением.

Но, так как отныне мы не будем ничего предпринимать без помощи воображения, стоит потрудиться над тем, чтобы строго различить, посредством каких идей должно быть сообщено нашему разуму каждое из значений слов. Вот по&чему мы предлагаем рассмотреть три следующие формы выражения: протяжение занимает место, тело обладает протяжением, и протяжение не есть тело.

Первая из них показывает, каким образом протяжение принимается за то, что является протяженным; действи&тельно, я разумею совершенно одно и то же и когда говорю: протяжение занимает место, и когда говорю: протяженное занимает место. Из этого, однако, не следует, что во избе&жание двусмысленности лучше пользоваться словом протя&женное, ибо оно не обозначало бы столь четко то, что мы разумеем, а именно то, что какой-либо предмет занимает место, так как он является протяженным; и кто-нибудь мог бы истолковать выражение: протяженное есть пред&мет, занимающий место,— только так, как если бы я ска- зал: одушевленное занимает место.

Перейдем теперь к следующим словам: тело обладает протяжением,— где мы, хотя и понимаем, что протяжение обозначает нечто иное, чем тело, тем не менее не создаем в нашей фантазии двух различных идей: одну — тела, дру&гую — протяжения, а создаем только одну идею протяжен&ного тела; в действительности это не что иное, как если бы я сказал: тело является протяженным, или, вернее, протя&женное является протяженным. Это свойственно тем сущ&ностям, которые пребывают только в другом и никогда не могут быть поняты без их предмета; иначе обстоит дело с теми сущностями, которые реально отличаются от их предметов, ибо если бы я, например, сказал: Петр обла&дает богатствами,— то идея Петра была бы совершенно отлична от идеи богатств; таким же образом, если бы я ска&зал: Павел богат,— я вообразил бы нечто совершенно иное, чем если бы я сказал: богатый есть богатый. Не распозна&вая этого различия, многие неверно полагают, что протяже&ние содержит в себе нечто отличное от того, что является протяженным, подобно тому как богатства Павла есть нечто иное, чем сам Павел.

Наконец, когда говорится: протяжение не есть тело тогда слово «протяжение» понимается совсем иначе, чем выше; и в данном значении ему не соответствует в фанта&зии никакая особая идея, а все это высказывание исходит от чистого разума, который один обладает способностью обособлять отвлеченные сущности такого рода. Это стано&вится причиной заблуждения, свойственного многим лю&дям, которые, не замечая, что протяжение, взятое в таком смысле, не может быть воспринято воображением, пред&ставляют его себе посредством верной идеи; поскольку же эта идея необходимо включает в себя понятие тела, то, когда они говорят, что протяжение, понимаемое таким образом, не есть тело, они неразумно противоречат себе самим, приходя к тому, что одна и та же вещь одновременно является и телом и не телом.

Нужно особо отметить, что во всех других положениях, где эти названия, хотя они и сохраняют то же самое значе&ние и признаются тем же самым способом отвлеченными от их предметов, все-таки не исключают или не отрицают что- либо, от чего они реально не отличаются, мы можем и должны воспользоваться помощью воображения, ибо тогда, хотя разум замечает исключительно лишь то, что обозна&чается словом, воображение все же должно создать верную идею вещи, для того чтобы, когда потребует необходи&мость, сам разум мог обращаться к другим ее свойствам, не выраженным в названии, и никогда не полагал опромет&чиво, что они были исключены. Так, если стоит вопрос о числе, мы воображаем какой-то предмет, измеряемый по&средством многих единиц, и, хотя разум в это время раз&мышляет только о множественности данного предмета, мы тем не менее будем остерегаться, чтобы впоследствии он не пришел на основании этого к какому-либо заключению, где предполагалось бы, что счисляемая вещь была исклю&чена из нашего представления; так делают те люди, кото&рые приписывают числам и удивительные тайны, и сущие пустяки, в кои они, конечно, не уверовали бы до такой сте&пени, если бы не представляли себе число отличным от счисляемых вещей. Таким же образом, если мы имеем дело с фигурой, мы будем считать, что говорим о протяженном предмете, понимаемом только в том смысле, что он обладает фигурой; если — с телом, то мы будем считать, что говорим о том же самом предмете как обладающем длиной, шириной и глубиной; если — с поверхностью, то мы представим себе его как обладающий длиной и шириной, опуская, но не от&рицая глубину; если — с линией, то представим себе его только как обладающий длиной; если — с точкой, то пред&ставим себе его, опуская все иное, кроме того, что он есть сущее.

Хотя я здесь подробно обосновываю все эти выводы, умы смертных все же настолько полны предубеждений, что я еще опасаюсь, что в данной части трактата очень немно&гие будут достаточно надежно ограждены от всякого риска заблуждения и что в этом длинном рассуждении они найдут объяснение моего мнения слишком кратким;

действительно, сами науки — арифметика и геометрия, хотя они и являются наиболее достоверными из всех, тем не менее здесь вводят нас в заблуждение. Ибо какой счет&чик не думает, что его числа должны быть не только отвле&чены разумом от всякого предмета, но и действительно от&делены от него воображением? Какой геометр не затемняет очевидность своего объекта противоречивыми принципами, когда он утверждает, что линии не имеют ширины, а по&верхности — глубины, и тем не менее потом образовывает одни из других, не замечая, что та линия, в результате дви&жения которой, по его представлению, возникает поверх&ность, есть настоящее тело, а та линия, которая не имеет ширины, есть только модус тела, и т. д.? Но, чтобы не задер&живаться слишком долго на перечислении этих ошибок, изложим покороче, каким образом, по нашему предполо&жению, должен пониматься наш объект, чтобы мы как можно легче доказали все истинное, что утверждается о нем в арифметике и геометрии.

Итак, мы занимаемся здесь протяженным объектом, не рассматривая в нем совершенно ничего иного, кроме самого протяжения, и умышленно воздерживаясь от употребления слова «количество», ибо некоторые философы настолько изощренны,что они отличили также количество от протя&жения 16; но мы предполагаем, что все вопросы приведены к такому виду, что не требуется ничего иного, кроме как познать некое протяжение на основании сравнения его с каким-то другим протяжением, уже известным. Действи&тельно, поскольку мы не ожидаем здесь познания какого- нибудь нового сущего, а только хотим привести пропор&ции, сколь бы запутанными они ни были, к тому, чтобы неизвестное было найдено равным чему-то известному, то, несомненно, все те различия пропорций, которые сущест&вуют в других предметах, могут быть обнаружены также и между двумя или многими протяжениями. И потому для нашей цели достаточно рассмотреть в самом протяжении все те свойства, которые могут способствовать выявлению различий пропорций, и таковых оказывается только три, а именно измерение, единица и фигура.

Под измерением мы разумеем не что иное, как способ и основание, в соответствии с которыми какой-либо пред&мет рассматривается как измеримый, так что не только длина, ширина и глубина суть измерения тела, но и тя&жесть есть измерение, в соответствии с которым предметы взвешиваются, скорость есть измерение движения, и дру&гих таких примеров бесконечное множество. Ведь само де- ление на многие равные части, будь оно реальным или только мысленным, есть собственно. измерение, в соот&ветствии с которым мы исчисляем вещи; и тот способ, каким образуется число, собственно, и называется видом измерения, хотя есть некоторая разница в значениях этого слова. Действительно, когда мы рассматриваем части по отношению к целому, тогда мы говорим, что исчисляем; когда, наоборот, рассматриваем целое как разделенное на части, мы измеряем его: например, мы измеряем века годами, днями, часами и мгновениями; если же мы будем считать мгновения, часы, дни и годы, мы в конце концов дойдем и до веков.

Из этого явствует, что в одном и том же предмете может быть бесконечное множество различных измерений и что они совершенно ничего не добавляют к измеряемым ве&щам, но понимаются одинаковым образом, независимо от того, имеют ли они реальное основание в самих предметах или были придуманы по произволу нашего ума. Действи&тельно, чем-то реальным является тяжесть тела, или ско&рость движения, или разделение века на годы и дни, но не таково разделение дня на часы и мгновения и т. д. Тем не менее все это признается одинаковым, если рассматри&вается только в отношении измерения, как это следует де&лать здесь и в математических дисциплинах, ибо исследо&вание того, является ли основание упомянутых измерений реальным, больше касается физиков.

Рассмотрение этого обстоятельства проливает много света на геометрию, так как почти все плохо представляют в ней три вида величины: линию, поверхность и тело. В самом деле, как было отмечено ранее, линия и поверх&ность непредставимы как действительно отличные от тела или друг от друга, но, когда они рассматриваются просто как отвлеченные разумом, тогда они суть различные виды величины не в большей степени, чем одушевленное и жи&вое в человеке суть различные виды субстанции. И следует заметить мимоходом, что три измерения тел — длина, ши&рина и глубина — отличаются друг от друга только назва&нием, ибо ничто не мешает в каком-то данном теле избрать какое угодно протяжение в качестве длины, а другое — в качестве ширины и т. д. И хотя только эти три измерения имеют реальное основание во всякой протяженной вещи как просто протяженной, все-таки здесь мы принимаем их во внимание не более, чем бесконечное множество других измерений, которые или создаются разумом, или имеют другие основания в вещах: так, в треугольнике, если мы хотим точно его измерить, необходимо в действительности знать три величины, а именно: либо три стороны, либо две стороны и один угол, либо два угла и площадь и т. д.; точно так же в трапеции необходимо знать пять, а в тетраэдре — шесть величин и т. д., которые все могут быть названы измерениями. Для того же, чтобы избрать здесь те из них, которые в наибольшей степени содействуют нашему вооб&ражению, мы никогда не будем одновременно обращать внимание больше, чем на одно или два измерения, рисуе&мых в нашей фантазии, даже если мы понимаем, что в поло&жении, которым мы будем заниматься, содержится сколько угодно других. Ведь задача искусства — различать воз&можно большее число их так, чтобы мы замечали только очень немногие из них одновременно, но вместе с тем все — в последовательности.

Единица есть та общая природа, к которой, как мы ска&зали выше, должны быть одинаково приобщены все те вещи, какие сравниваются между собой. И если в вопросе нет какой-либо уже определенной единицы, мы можем взять вместо нее или одну из уже данных величин, или любую другую, которая и будет общей мерой для всех остальных; и мы поймем, что в ней заключено столько же измерений, сколько и в тех крайних членах, которые должны будут сравниваться между собой, и представим ее себе либо просто как нечто протяженное, отвлекаясь от всего иного (тогда она будет тем же самым, что и точка у геометров, когда они посредством ее движения образуют линию), либо как некоторую линию, либо как квадрат.

Что касается фигур, то выше уже было показано, как посредством их одних могут быть образованы идеи всех вещей; в данном случае нам остается уведомить, что из бес&численного количества их различных видов мы будем ис&пользовать здесь только те, которыми наиболее легко выра&жаются все различия отношений или пропорций. Сущест&вует же только два рода вещей, которые сравниваются между собой: множества и величины; и для того, чтобы сделать их доступными нашему представлению, мы распо&лагаем также и двумя родами фигур. Например, точки, которыми обозначается треугольное число, или древо, ко&торое раскрывает чью-нибудь родословную, и т. д. являют&ся фигурами, представляющими множество; те же фигуры, которые непрерывны и неделимы, такие, как треугольник, квадрат и т. д., представляют величины.

Для того же, чтобы теперь изложить, какими из всех этих фигур мы будем здесь пользоваться, необходимо знать, что все отношения, какие только могут быть между сущностями одного и того же рода, должны быть сведены к двум главным, а именно к порядку или к мере.

Кроме того, надо знать, что для нахождения порядка требуется немало усердия, как это везде можно видеть в настоящем методе, который не научает почти ничему дру&гому; в познании же порядка, после того как он был найден, не заключается совершенно никакой трудности, но мы мо&жем легко обозреть умом, в соответствии с седьмым пра&вилом, каждую из упорядоченных частей, именно потому что в этом роде отношений одни части соотносятся с дру&гими сами по себе, а не через посредство чего-то третьего, как это бывает с мерами, о развертывании которых мы здесь поэтому только и будем рассуждать. Действительно, я узнаю, каков порядок, связывающий А и В, не рассматри&вая ничего иного, кроме обоих крайних членов; но я не узнаю, каково соотношение по величине между двумя и тремя, если не рассмотрю нечто третье, а именно единицу, которая является общей мерой обоих чисел.

Надо также знать, что непрерывные величины с по&мощью принятой единицы иногда целиком могут быть све&дены к множеству и всегда — по крайней мере частично, а множество единиц может быть затем расположено в таком порядке, что затруднение, которое касается познания меры, будет в конце концов зависеть лишь от рассмотрения порядка, и успеху этого искусство содействует в наиболь&шей степени.

Надо, наконец, знать, что из измерений непрерывной величины нет ни одного, которое представлялось бы более отчетливо, чем длина и ширина, и что не следует одновре&менно обращать внимание на большее число измерений в одной и той же фигуре, если мы будем сравнивать друг с другом два различных измерения, ибо требуется искус&ство для того, чтобы, располагая больше чем двумя различ&ными измерениями, подлежащими сравнению друг с дру-

гом, мы последовательно обозревали их, но одновременно обращали внимание только на два из них.

Заметив это, легко заключить, что положения здесь должны быть отвлечены от тех самых фигур, о которых рассуждают геометры, когда вопрос стоит о них,— отвле&чены не менее, чем от любой другой материи. Для этой цели не следует оставлять ничего, кроме прямолинейных и прямоугольных поверхностей или прямых линий, кото&рые мы также называем фигурами, потому что через их посредство мы воображаем действительно протяженный предмет в не меньшей степени, нежели через посредство поверхностей, как было сказано выше. Наконец, через по&средство тех же самых фигур следует представлять то не&прерывные величины, то множество или число; и для того, чтобы выявить все различия отношений, человеческим усердием не может быть изобретено ничего более простого.

ПРАВИЛО XV

  В большинстве случаев полезно также чертить эти фи&гуры и представлять их внешним чувствам для того, чтобы таким способом легче удерживать нашу мысль сосредото&ченной.

А то, как следует изображать эти фигуры, чтобы, когда они находятся перед глазами, их образы отчетливее запе&чатлевались в нашем воображении, является самоочевид&ным: так, вначале мы изобразим единицу тремя способами, а именно: в виде квадрата Q], если мы сосредоточим вни&мание на ней как на обладающей длиной и шириной, либо в виде линии ____ , если мы будем рассматривать ее только как обладающую длиной, либо, наконец, в виде точки ф, если мы не заметим в ней ничего иного, кроме того, что благодаря ей составляется множество; но, как бы она ни изображалась и ни понималась, мы всегда будем подразумевать, что она является предметом, вполне протя&женным и вмещающим бесконечное множество измерений. Точно так же и термины положения, когда нужно одновре&менно сосредоточить внимание на двух их различных вели&чинах, следует представлять в виде прямоугольника, две стороны которого будут двумя названными величинами, таким образом: |              |, когда они несоизмеримы с еди&

ницей, либо так:

і і

              —4- -

I I J              L_

или так: • • • , когда они соизмеримы с ней; и не требу&ется ничего более, если только не ставится вопрос о множе&стве единиц. Если, наконец, мы сосредоточиваем внима&ние только на одной из этих величин, мы начертим линию либо в виде прямоугольника, одна сторона которого будет названной величиной, а другая — единицей, таким обра- зом: I              — это бывает всякий раз, когда одну и ту

же линию необходимо сравнить с какой-то поверхностью; либо в виде одной лишь длины, таким образом:              ,

если она рассматривается только как несоизмеримая дли&на; либо таким образом: цщ, если она является мно&жеством.