ЛЕЙБНИЦ О БИНАРНОЙ СИСТЕМЕ ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 1. Definitio. Numerus dyadice expressus est dcba, si idem significet quod simul

a

simti k® et ^              4u°d ^ et              c

cOO seu quater c, et dOOO idem

dOOO

quod bis quaterna d seu octies d, et ita porro.

§ 2.

§ 3.

Sed si ibi jam 1 inveniat, rursus mutabit in 0 facietque tantum 1 addi in antepenultima, ut prius in penultima, et ita porro de sede in se- dem. Unde patet, si semel incipiamus ab 1, uti faciendum sane est, non posse alias prodire nolas quam 0 et 1, promota tantum sede.              0

§ 4.

§ 5. Exhibeatur Generatio Numerorum per addi- tionem unitatis continuam ab 1 ad 16:

§7. Generalis praxis Additionis. Si sint quot- cunque unitates in una sede expressae numero dy- adico edcba, pro quavis ex his notis a, vel b, vel c, vel d, vel e etc. unitatem significante notetur punctum in sede tantum remota sinistrosum a sede prae- sente, quantum sedes notae remota est ab ultima, colligantur autem in ipsa sede praesente per ascrip- tas ultimae unitati cujusque progressionis duplae notas numerales vulgares. Hoc etiam observabo ut punctum in quavis columna fiat in primo loco, si est a columna proxime praecedente, in secundo si in altera, in tertio si in tertia, et ita porro, ita enim semper dignosci potest, unde punctum sit ortum,, quod prodest revisioni nec possunt plura uno punc- ta incidere in eundem locum; praefero autem pri- mum locum ab imo ascendendo. Pro notis numer- alibus adhibere etiam licebit / vel //. Sit exemplum

10 111 1111 110 11

10 1 и 0

Lineas hie duxi a punctis ad numeros exquibus oriuntur,ut rationem redderem processus, non quod his ductibus sit opus in praxi.

vel

Praestat pro // vel /// scribere 2 vel 3, sed malo / quam 1, ne confundatur 1 signif- icans notam collectio- nis cum ipsa colum- nae unitate.

In columna ultima sumantur primum unitates maximi qui adest numeri progressionis duplae, nempe 4, et quartae seu ultimae ascriba- tur 2 (ob 4 = 22) quod notat punctum signandum in columna abhinc secunda (nempe antepenultima), et quidem loco secundo seu inter notam ejus secundam et tertiam.

§ 8. Subtractions praxis haec est, ut si plura sint subtrahenda, vel subtrahantur sigillatim, vel prius addantur in unum, deinde summa sub- trahatur. Utroque modo non nisi unius numeri subtractione est opus. Quo facto subtrahatur nota a nota ejusdem sedis, et si nota subtrahenda sit 1, sed ea a qua debet subtrahi sit 0, scribetur residuum 1, sed signetur punctum ad notam subtrahendi proxime sequentem, et si is jam sit uni- tas, iterum ad sequentem, et ita porro. Itaque ubi bine occurrunt uni- tates in subtrahendo, habentur pro 0, fietque subtractio non nisi 0 ab 1 vel 1 ab 1, ex quibus prior relinquit 1, posterior 0. Exempli gratia

110 10 0 110 110 110 11

1 (Г~6 1 О-! Г

§ 9. Praxis Multiplicationis. Haec est facillima, quia notae mult- plicantes sunt 0 et 1. Jam 0 in numerum multiplicandum facit 0, et 1 relinquit qualis erat. Sed 1 in sede secunda cum sit binarius, duplicat numerum multiplicandum, id est promovet in sedes proxime sequentes. Et 1 in sede tertia, cum sit quaternarius, quadruplicat numerum multiplicandum, id est promovet in sedes terrtias, et ita porro.

Nam 1000000 est 64 et 1000001 est 64+1.

Hinc in Multiplicando Dyadice non opus est Tabula quam vulgo Pythagoricam appellant, et quam memoriter ediscere oportet; nec de ea adhibemus nisi initium, nempe quod semel unum est unum.

§ 10.

§11. Series Numerorum naturalium ab 1 ad 64. possunt omitti 0, quas non praecedit 1, adjecimus tamen ut progressus periodorum magis appareret.

§ 12.

Simili ratione characterum suorum Tabulas Fohius continuavit usque ad 64, easque modo in circulum, modo in forma quadrati disposuit. Cumque Dyadicas meas notas explicuissem per literas R. R Bouveto, Societatis Jesu missionario ad Sinas, ille statim consensum cum Fo- hianis characteribus animadvertit et ad me perscripsit, Tabula simul trans- missa qua 64 characteres Fohiani turn in quadrato, turn rursus in circulo circumscripto continentur, hoc tantum discrimine quod in quadrato or- dinem nostrum sequantur, in circulo vero semicirculus unus a summo

descendens in sinistra latere continet character- es a 0 ad 31, sed alter semicirculus rursus a sum- mo descendens in sinistra latere continet char- acteres a 32 ad 63, ita enim sibi opponuntur e regione in eadem altitudine ii characteres qui non differunt nisi quod sinistrarum prima nota est 0 seu !, dextrarum vero 1 seu I. Ex. gratia 0 et 32, 1 et 33, 2 et 34

Leibniz hat bemerkt: Caetera alias prosequar, osten- damque general і ter summas seriei periodicae dare se- riem periodicam, et columnis alttrius columnae sum- matrices habere periodum, hex: modo, ut ad minimum periodus primae columnae summatricis sit longitudine

dupla periodi summandae, secundae longitudine quadrupla, tertiae longitudine octupla etc. Tunc enim semper 0 incidit in columnnae summatricis et summatrici- um praecedentium simul cum fine periodi, ita omnia ab integro prodeunt ut ante. Hinc apparet statim periodus naturalium. Ostendam et addendo in unum duas co- lumnas periodicas fieri periodicam. Eigo addendo in unum quotcunque periodicas orietur periodica. Hinc demonstro numeros naturales et progressionis arithmeticae, et polygonos quosque, turn etiam quadraticos, cubicos etc. periodicas series dare.

Ita mirum accidit, ut res ante ter et amplius annos nota in extremo nostri continentis oriente, nunc in extremo ejus occidente. sed melioribus ut spero auspiciis resuscitaretur. Nam non app- aret, antea usum hujus characteresmi ad augen- dam numerorum scientiam innotuisse. Sinenses vero ipsi ne Arithmeticam quidem rationem intelligentes nescio quos mysticos significatus in chracteribus mere numeralibus sibi fingebant.*

О ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 1. Определение. Число в двоичной системе выражается, как d с b а, если это

[выражение] обозначает одновременно допущение

а ЬО

и ЬО то же будет, что дважды Ь,

dOOO

и сОО то же, что дважды удвоенное с, или четырежды с, и dOO - то же, что дважды учетверенное d, или восемью d, и т. д.

§ 2. Таким образом 10 [в этой записи] есть 2, а 100 есть 4, а 1000 есть 8, а 10 000 есть 16 и так далее. Из предыдущего очевидно, что если вместо а, Ь, с, d поставить 1,1,1,1, и вообще числа геометрической прогрессии, начиная с двойки, выразить двоично с помощью единицы, к которой приписывается столько нулей, сколько единиц в показателе геометрической прогрессии, т.е. 2= 10. Таблица же будет строиться следующим образом:

§ 3. Всякое число в двоичной системе исчисления может выражаться без употребления иных, кроме 0 и1 обозначений. Поскольку каждое число образуется постоянным прибавлением единицы, и единица прибавленная к единице дает 10; ибо понятно, 0 запишется на последнем месте, а единица - на предпоследнем, или прибавится к предпоследнему: тогда следовательно будет писаться, когда там бу- дет 0, или когда [она там] отсутствует. Но если единица там находится, то [она] опять поменяется на О и позволяет лишь прибавить 1 на пред-предпоследнем, как прежде на предпоследнем, и т. д. от места к месту. Отсюда видно, что раз мы начинаем с 1, — как и резонно поступать, — [то] другие не могут выступать числа, кроме 0 и 1, повышаемые лишь разрядом (sede).

§ 4. Всякий раз, когда единица перемещается или придается последующему месту с [места] предыдущего, для памяти на следующем месте ставится точка; например, если нужно сложить 11 и 1 (т.е. 3 и 1) вместе, и поскольку на последнем месте 1 и 1 есть 10, то запишется 0, и на следующем месте точкой отмечается единица. И вновь на предпоследнем месте 1 и 1 (ясно, что точка здесь означает 1) будет 10; [поэтому] пишется 0 и отмечается 1 на пред-предпоследнем месте. Теперь 11 на пред-предпоследнем месте будет ни что i-tJL иное, как точка, или перенесенная едини- • 100 ца, что означает 1 и составит 100.

§ 5. Порождение чисел может быть представлено (exhibeatur) через постоянное прибавление единицы [на примере ряда] от 1 до 16:

§ 7.2 Общее правило (praxis) сложения. Если единицы, сколько бы их ни было в одной позиции, выражаются числом edcba, [то] для тех из этих обозначений - а либо Ь, либо с, либо d, либо е, которые обозначают единицу, ставится точка на место, столь удаленное от данного места, сколь место знака удалено от последнего [места]; связываем [ее], однако с этой настоящей позицией, приписав последним единицам той же двойной прогрессии обычные числовые обозначения. К этому замечу также, что точка может быть в любом столбце — на первом месте, если в столбце рядом с предыдущим, на втором, если в другом, на третьем, если в третьем и т.д., ибо так всегда можно узнать, где будет место точки, что позволяет проследить, чтобы на том же самом месте не было более одной точки. Пред- почитаю однако первое место, чтобы восходить от него. Можно, пожалуй, употреблять для числовых обозначений / или //. Примером пусть будет

10 111 1111 110 11

10 1 12 О

vel

Линии я здесь провел от точек к числам, от которых они заимствуются (oriuntur), чтобы показать, как происходит вычисление; не для того, чтобы этими начертаниями пользоваться на практике. Лучше вместо //или /// писать 2 либо 3, но я больше предпочитаю /, чем 1, чтобы не путать 1, обозначающую знак последовательности, с единицей в самом столбце.

В крайнем столбе суммируются прежде всего единицы, т. е. наибольшие числовые обозначения (numeri) двоичной прогрессии, а именно 4 [единицы], и к четвертой, или последней, приписывается [индекс] 2 (поскольку 4 = 22), который обозначает точка, которую следует поставить во втором отсюда столбце (а именно, пред-предпоследнем, но теперь [двойку] — на втором месте, или между его вторым знаком и третьим. Другого нет большего числа двоичной прогрессии, кроме единицы, поэтому под столбцом, ниже черты, подведенной, следует записать единицу. В предпоследнем столбце снова приписывается два к четвертой единице и 1 к другой после (ниже?) нее, ибо 4 = 22, а 2 = 21. И против двух ставится точка на втором месте второго отсюда столбца, а против 1 ставится точка на первом месте первого отсюда столбца и под столбцом 0, так как больше ничего нет. В пред-предпоследнем, или третьем [столбце], поступают (contingut) так же; и в пред-пред-предпоследнем, или четвертом — снова так же;

в пред-пред-пред-предпоследнем, или пятом, снова так же; в шестом [справа] оказываются две единицы, [обозначенные точками,] следовательно к второй я приписываю 1 и ставлю точку на первом месте [= месту] первого отсюда столбца и под шестым столбцом пишу 0. Так же будет далее (prorsus) в 7-м столбце. В восьмом же нет более ничего, кроме как единицы, которая под ним и пишется, что даст в результате 10000001.

§ 8. Действие вычитания таково, что если вычитаемых несколько, то либо они вычитаются по-модному, либо прежде слагаются, и затем вычитается сумма. Из обоих способов лишь вычитание одного числа является действием вычитания; при этом действии вычитается знак из знака того же разряда (sedis), и если вычитаемый знак будет 1, а тот, из которого следует вычесть, будет 0, то пишется остаток 1, но отмечается точка у следующего ближайшего знака вычитаемого; и если это тоже будет единица, то снова у следующего [знака отмечается точка] и т.д. Таким образом, где в вычитаемом случаются две единицы на одном месте, они [там] принимаются за 0; происходит, тем не менее, вычитание 0 из 1 либо 1 из 1, от которых в первом случае остается 1, во втором — 0. Например:

10 10 0 110 110 110 11

1 1 0~~б 1 0 1 Г

Ибо 1000000 есть 64, а 1000000 есть 64+1.

§ 9. Действие умножения. Оно — самое легкое, так как перемножаемые знаки суть 0 и 1. Так 0 в множителе (in numerum multiplicandum) дает 0, а 1 оставляет то, что было. Но единица на втором месте, так как она двоичная, удваивает умножаемое число, т.е. переносит (promovit) на следующее ближайшее место. А 1 на третьем месте, так как она четверичная, учетверяет умножаемое число, т.е. перемечает на третье место и т.д.

Поэтому при умножении двоичных чисел не требуется таблицы, которую обыкновенно называют пифагорической, и которую нужно заучивать на память, и мы используем в ней только начало, а именно, что единожды один есть один.

§ 10. Действие деления не менее легкое, так как коэффициент не может быть больше единицы. Поэтому все действие служит примером, где ради большей ясности я исхожу из обычного метода.

§11. Ряд натуральных чисел от 0 до 64.0 (нули), которым не предшествует 1 [в качестве большего разряда], могут быть опущены; мы их, однако, присоединяем, дабы лучше проявилась последовательность периодов.

§ 12. Я сопоставляю наши обозначения с теми, которые оставил Фуси, самый древний правитель (Rex) китайцев. То, что мы обозначаем 0 (нулем), он обозначал — — (разломанной, или прерванной чертой), а что мы обозначаем единицей, он - целой чертой: —- 3 .

00 01 10 11

1. 010 011 100 101 110 111

0000 0001 0010 ООП 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Подобным образом таблицу своих символов продолжил вплоть до 64-х Фуси и расположил их как по кругу, так и в виде квадрата. И когда я объяснил мои двоичные символы Пр. о. Буве, миссионеру ордена Иисуса в Китае, он тотчас обратил внимание на соответствие [этих чисел] символам Фуси и написал мне об этом, переслав одновременно таблицу, в которой содержатся 64 символа Фуси — то в квадрате, то, опять же, по описанному кругу, с тем лишь различием, что в квадрате они следуют нашему порядку; в правильном же круге один полукруг, нисходящий сверху по левой стороне, содержит символы от 0 до 31,4 а другой полукруг, опять же нисходящий сверху по правой стороне содержит символы от 32 до 63; но таким образом те символы, которые отличаются тем лишь, что у левых первым знаком будет 0, или — —, у правых же — 1, или — , противостоят друг другу по линии на одной и той же высоте5. Например, 0 и 32, 1 и 33, 2 и 34:

Так что чудо случилось, чтобы то, что записано прежде, много-много лет тому назад, на крайнем востоке нашего континента, воскрешено теперь на крайнем его западе — лучше и, как я надеюсь, счастливей. Ибо не похоже, чтобы раньше было известно употребление этой символики (characterismi) для обогащения теории чисел (numerorum scientiam). Китайцы даже, сами не понимая арифметической теории6, придумали себе знаю уж какие тайные значения в чисто числовых символах7.