11.2. Методы решения оптимизационных задач

На одном и том же оборудовании можно производить два вида продукции JC и_у. В сутки оборудование способно работать до 12 часов. На производство продукции х затрачивается 1 час работы оборудования, а на производство продукции у - 3 часа. На оба вида продукции требуется сырье: на производство продукции х - 4 кг сырья, а на производство продукции у - 3 кг сырья. Всего у нас имеется возможность затратить 24 кг сырья на производство обоих видов продукции. Наконец, допустим, что прибыль от производства единицы продукции л: составляет 400 рублей, а прибыль от производства единицы продукции/- 500 рублей.

Нашей задачей является найти такое соотношение этих двух видов продукции, при котором прибыль предприятия будет максимальной.

Решение этой задачи начинается с составления математического уравнения. В качестве переменных принимаем виды продукции х и/. Формулируем задачу:

Найти максимум Z = 400Lv + 500у. щ -jf, ,-кf.v , v «

Формулируем Офаничения: -к . -"^ify--«,<¦ ¦ .¦;%s:,s

-по машинному времени: лс і 3.г < 12. ^^ - ^ .. , ¦ -¦ !. ,•(

-по материалам: 4дг t з_р < 24. ,,¦ ¦^•. i,.

Добавим условие неотрицательности х, j>0.

Построим эти ограничения на графике. Они будут представлять собой две прямые линии. Прямые строим по двум точкам. Сначала предполагаем, что л: = 0, тогда из уравнения первого ограничения у — 4. Если в этом же урав-нении задать величину у =0, то ему будет соответствовать величина д: = 8. Подобным образом находим точки пересечения прямых с осями графика и для уравнения второго ограничения.

В результате первая прямая строится через точку (дг = 0, у - 4) и точку (дг = 12 ,у =0), а вторая прямая проходит через точку (jt = 0, у.

Как видно из графика, имеется множество допустимых решений в пределах области, ограниченной проведенными прямыми, выполняющими роль ограничений. Среди всех этих допустимых решений оптимальным явля- ется точка пересечения двух построенных прямых с координатами х = 4, у = = 2,67. При этом максимальная прибыль составит

400 х 4.0 + 500 х 2.67 = 2935 руб.

В качестве проверки можем задать любые другие допустимые значения х и у и убедиться, что суммарный показатель прибыльности окажется хуже найденного значения.

Подобным образом решается и задача поиска минимума функции (расходов, убытков) при заданных ограничениях. В нашем примере эту задачу можно сформулировать как задачу поиска минимума вероятных убытков при определенных экономических характеристиках имеющихся технических средств противопожарной защиты. В этом случае система уравнений (11.2) приобретает вид, представленный в виде (11.3).

У - С,- - Ен • Kj ~> mm. г (113)

¦•'¦1 При ограничениях:

." і "'П гV У < У г -.V Л-¦¦

J _ " таї у

•; с,< CW, ^'.у- ¦ f// :Ен' К/ < Ен • Kmu, ¦ ;

ЛУ, С/, Ен, К;>0. '

Отметим только два важных отличия от описанного примера. Во- первых, в системе ограничений в таком случае знак «более или равно» для основной функции меняется на «менее или равно». Во-вторых, допустимая область решений в этом случае лежит не внутри интервала, ограниченного проведенными прямыми, а вне ее. Решением задачи будет точка из множества допустимых, наиболее приближенная к началу координат.

Попутно заметим, что для решения оптимизационных задач с большим количеством переменных вместо графического метода используется так называемый симплекс-метод, когда множество переменных представляется в виде математической матрицы. Далее задача решается в несколько приемов (итераций), начиная с переменной, имеющей наибольший удельный вес. После нахождения оптимального значения самой важной переменной, она представляется в виде постоянной величины, матрица упрощается (укорачивается на одну строку и одну колонку). Следующим шагом является решение задачи для этой упрощенной матрицы. Этот процесс повторяется до полного решения задачи.

Поскольку для задач оптимизации расходов на противопожарную защиту высокое число переменных величин не характерно, применение сим- плекс-метода мы подробно рассматривать не станем.