Вопросы для самопроверки

Используя только определение производной найдите производную функции у — е™л*.

Каков геометрический смысл производи ой ?

Какое из утверждений правильное.:

а) если функция непрерывна в некоторой точке, то она дифференцируема в этой точке]

б) если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке?

Какой механический смысл первой и второй производной?

6- Как составить уравнение касательной и нормали к графику функции у — f(x) в точке Мі(іі, уі)? 7.

8, Как найти производную:

а) сложной функции, ¦ б) функции, заданной неявно,

з) обратной функции,

г) функции, заданной параметрически? 9 Что называется дифференциалом функции и дифференциалом

независимого переменного? 10. Как применяется дифференциал в приближённых вычислениях? 1 I, Что называется производной и дифференциалом n-го порядка?

Напишите формулу Лейбница для вычисления ті й производной от произведения двух функции.

Сформулируйте теорему:

а) Ролля;

б) Лагранжа;

и) Кош и ;

г) Логе нталя,

Какое геометрический смысл теоремы:

а) Ролля;

б) Лагранжа?

Перечислите различные типы неопределённостей, для которых может быть использовано правило Лопиталя,

Выпишите представления функций еху sinx, cose, ln(l + я), (1 -f- x)TF\

Как применяется формула Тейлора в приближённых вычислениях?

і

Упражнения

Найти производные следующих функций:

і — 1 ~ v^ _ jL-aj? _ ^ ^ tga _ sinх

У ~ і -h tg я"

.2, у = соэ я: + -г tg^ х, у — ^^ 4 , у — xtga + sln.t, у «= 2 4 х sin х

= єх sin

п

З, у — х2 Iog3 x, у = xli\2x, у = х amхInх, у = е~т coax2 у = . 1 — In® 1ц v tsij:® 4і 1-е1

4' * - ТТьї' у " ЇТ^* у = П5Г- у = у " Г+F* у =

Б. у — sin2 Vl ^ у = tg v^l + X , у = sin^(cos5ic), у — In2 sinx,

У = xsill3 '

6- у = \/ех smx2 , у = х2 arcsin х, у = у/х arctg2 х, у = х*

7. у = у (cosx)* у = (Ья)*, у =*хЪх, у= (І + г2)*111^

X

si и (г + у) = я + tgxy = siny, уійа? — ilnt=* є"8*, 3я 4- =

=

Найти вторые пронзьодные следующих функций: 9.

Найти пределы:

,0. lira «1=?1, Ш (Щ*. lim 1іш

я-*0 ЗГ Г—іО \ X / V Z / д;

e'-l

к г^1 - 5*

Jim

1ІП1 XUC t-юо

і і. ііш

, ft

lllD X fllJl -.

t —T

С —с

lim

0 sina: cfisff1 (t-^0 COSI — 1

я:

•Ч l1)

1

12. кж2^ Um хЙІП* lim - ¦¦ - — -

x—i-O г—»o x—і'0 sin 2a;

Разложить многочлен x4 — Sx3 4 x2 - Зя 4 4 no степеням двучлена х - A.

Представить функции f(x) — tg(in) и f(x) - arcsinz с помощью формулы Маклореш до членов х* включительно.

С ПОМОІЦЬЮ формулы Тейлора приближённо вычислить с точностью ИГ3: ^50, е-^, sb!5d,

Ответы

J "(1 + У^) -(2 + х{х* 4 2а2) t х - Sin х oos а:

* 2^(1 + 3WnjTWf' (tta 4 х*)*'2 ; .гг2 cos3 аг

1 (1 4- т 4- cos і) — х sinifseci)2

х

vT

I Q -

6, - v ех sin я2 (1 + 2х ctg32); 2х aicsin х 4 ~ arctg э: Ґ arctg л; 4 ); 4 hi і).

axxa ^Ina 4- ^ ctg(ax ¦ za); (cosя)x(Incoax - x tg a;);

COS з: In (1 4- a;3) 4

(Іпж)1 (in ln:c4 2x]nx~1 ¦ Іпя; (14,т2)

, ЙЯЗІїїа?

T

\ 4 X2

8- у

*У >

1-у cos (я 4 у) у 4 cos2 ху у їіп у — у 4 хуеху X 4 у2 саа (х 4 у)' cos у сон2 ху - ж' х у\пх-х-хуе

П= -з^-*

3V1-3*)

2х

а:(5 4 б In ж); -2(аіп2д; + з? cos 2я); 2aictgs 4 (х2 — Ах 4

(1 4 x ) f

1 ill

іпд; ?3; еб; -- Ьа.

З 6

XI. 2: —2; 0; а. 12. оо; ї; Г7; І.

—56 4 2Цх - 4) 4 37(і- - 4)2 4 ll(x - 4)J 4 (х - 4}4

Щх - л 4 % 4 ~ S5 4 ~ х7 4 о(х7),

arcsm х 15. 3,107; 0,779; 0,259.