§ 8» Векторная алгебра

х =5 ОМХі у с* ОМуЛ z = ОМ^

Число х называется абсциссой„ у — ординатой, z — аппликатой. Символ у, г) обозначает, что точка М имеет координаты х, у, z.

Понятие вектора. Геометрическим вектором или просто век-тором называется направленный отрезок. Вектор обозначается лкбп

двумя большими латинскими буквами с общей стрелкой наверху АВ, причём первая буква обозначает начало, вторая — конец вектора, или малой латинской буквой а.

Началом вектора называется точка его приложения. Вектор, начало н конец которого совпадают, называется нулевым вектором. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы называются рапными, если они ноллинеарны, имеют ОДИ* наковие длины и направления. ,

Длина вектора а, называемая также модулем, обозначается символом |а|. Если |а] «а 1, то вектор а называется единичным. Единичный вектор, имеющий одинаковое с данным вектором направление, называется его ортом.

Пусть даны произвольная ось ь и некоторый эектор ДІЇ, причём

Ші zi) и jfe» ПроевцнеЙ вектора АВ на ось v назы

вается число, равное величине отрезка A'Bf оси и, где А' является проекцией на ось точки А, а В' — проекцией точки В, и обозначается символом пр^АВ.

Проекции произвольного лектора а на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами іг, у, z. Равенство а = {зс, у, z) означает, что числа Ф, z являются проекциями век-

в

А

І I _

а' в1 v

Рис, 29

тора а на координатные оси и называются его координатами. Причём, каковы бы ни были две точки и В(х2у координаты

вектора А В определяются формулой:

—>

АВ = {х2 - У2 ~ У\ t 22 - Zj } ,

т.е.. чтобы получить координаты вектора, нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала.

Пусть задан вектор а^ г}, у которого начало совпадает с началом координат, а конец его есть некоторая точка Л/.

Вектор ОЛ? — а, идущий от начала координат к некоторой точке М, называется радиусом-вектором точки М и обозначается буквой г. Мо-дуль этого вектора равен длине диагонали прямоугольного параллеле-пипеда со сторонами jx|t [уі, f^j.

Тогда из курса школьной геометрии имеем; |а|3 — Xі + у* A- z3 или !а| = ,/х2 + у2 А Ї1 — это есть выражение модуля произвольного вектора через его коорди наты (с ьд рис. 30).

PDF-Bepcw ооэ irKnig.com

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников lbitt

., , - л. Ф * І

НО йнллчтиьеская геометрия и элемешпы векторной алгебры [ Гл. [I

У

Если заданы начало Л(»і> VI» и конец z^) вектора А В,

то его модуль равен:

АВU yj(х2 - хО2 + (у2 - z, )2 .

Эту формулу можно рассматривать как формулу, определяющую расстояние между двумя точками и Bfe.jfc.^г).

Если обозначить через а, 0t у углы, которые вектор а составляет е осями координат Ох, Оу, Oz соответственно, то cos a, cos/3, cos 7 называются направляющими косинусами вектора а, Учитывая, что проекция сектора а на ось равна произведению модуля на косинус угла наклона, получим х = [а| cos а, у = |а| сод/?, г — |aj cos 7. Отсюда следует, что

cos2 а + соя^/З + СОЁ"7 = 1.

cos 0 =

Таким образом, сумма квадратов направляющих косинусоэ вектора равна единице.

3.

а) Суммой а + Ь двух векторов а и b называется вектор, который идёт из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b Приложен К концу вектора а (правило треугольника).

Разностью а-Ь двух векторов а и Ъ называется вектор, который в сумме с вектором Ъ составляет вектор а. Если два вектора а и b приведены к общему началу, то разность их а - Ь есть вектор, идущий из конца b к концу а (см, рис. 31).

Если векторы а и Ъ приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма а + Ь этих векторов (правило параллелограмма) предстанет собой диагональ параллелограмма, идущая ив

общего начала векторов a (j b, (Отсюда следует, что а + b = b -Ь а). Другая же диагональ есть разность зтих векторов (см, рис, 32).

б) Произведением п-еЕїтора я. на число А называется вектор aAt колли неарный вектору а, имеющий длину |Aj ¦ \в\ и направленный так

Рнс. 32

< 0. Геометрически и смысл операции умножения вектора а на число Л есть растяжение (или сжатие) вектора а я А раз.

Любой вектор а можно записать как а = е;а|, где е — единичный вектор (орт), указывающий направление вектора а,

При сложении двух векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются па это число. Если а = {xuy^Zi) и Ь ~ {а^з»ЇУ2,. А — число, то a-j- b = = {zi і її, у! ± y2,zi±z3), Ла а- {Ляь Ay-L1 Агі}.

Если векторы а и b коллинеарны, то один из них может быть получен умножением другого на некоторое число А, т е b = Аа. Записав это равенство через координаты, получим хг = А:сь У 2 — Ауі, =5 А*і;

Отсюда имеем ~ = ~ = — = А.

У\ гі

Таким образом, векторы А Н B коллннеарны В ТОР/ И ТОЛЬКО ТОМ случае, когда их координаты пропорциональны.

4. Разложение вектора по координатному базису. Пусть задан произвольный вектор ОМ = {Ei J/,2}. Проведём через конец Kd этого вектора три плоскости, параллельные координатным плоскостям Точки пересечения указанных плоскостей с осями Ох, Оу^ Oz обозначим соответственно .Л Вк О Очевидно, будем иметь; ОМ = оЛ + ОВ +

ьи

¦+ ОС (см, сложение векторов), Введем три единичных вектора Ї, j, к: і направлен по_оси Ox, j — по оси _Oyt к направлен по оси О г.

Можно записать О А = і - ху OB ~ j ¦ у, ОС - z.

был вектор ОМ, он всегда можетбыть разложен по базису i, j, kt т.е.

может быть представлен в виде ОМ = Ь; + \у -J- kz (см. рис. 30).

Отметим, что единичные вектора i, j, к в координатной форме ааписы ваются так І - <1,0,0}. j - {0,1,0}, k - {0,0,1}.

Задача 38. Даны три аентора а, Ь. с. Найти разложения вектора р по базису а, Ь, с:

ї) а я= Зі — + k, Ь — —і + j — 2к, с = 2i + j — 3ks p«lli-6j + -4- 5k"

2) a = Ї + 2j + 3k, b = 2i + j-f-3k, c = 3i-j + 2fc1 p = 4Ї -f- 3j 4 7k, Решение. 1. Если a, b, с — какие угодно некомпланарные векторы (векторы называются компланарными, если онн лежат либо в одной плоскости, либо на параллельных плоскостях, условие компланарности смотри ниже), то всякий вектор р может быть представлен в виде р = оа + flb + 7С, где a, J3, 7 - числат Такое представление вектора р называется разложением его по базису a, Ь,с> а числа а, 0, у называются коэффициентами этого разложения, координаты вектора р ь базисе atb, с (сравни с разложением по координатному базису). Запишем разложение в координатной форме:

Последняя система имеет единственное решение, так как Д ф 0 (три вектора компланарны, если определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю, см, ниже). Вычисляя определители, полу-чим: Д = S, - 1G, Д^ = -24, = 8, тогда fi — 2, 0 = -3, 7-1. Разложение вектора р по базису а, Ь, с имеет вид:

р = 2а - ЗЬ + с. Составляем систему уравнений р = аа + 0Ъ + 70 или

а + 20 + З7 = 4, 2а 4- 0 - 7 = 3, За + 3/? 4- = 7.

Так как Д = Ді — Дэ ~ Дд — О, система имеет бесчисленное множество решений. Если из третьего уравнения вычесть первое, то получится второе уравнение, которое удаляем из системы, тогда

иди

\ За+ЗЬ + 2о = 7

PDF-версия с

] а = 4- 37,

нрколй = ?-2д. . д MirKnig.com

2 3

4 — У7 2 7-27 ^

ВешорНйя алгебра

Находим определители этой системы: 1

= -2 - 57,

3

=-з, д;^

= -5 + 7Т.

1 4-37

3 7-2Т

Следовательно,

А'і _ 2 + 5-у

я - - Р ^ Д' ^ 3

а искомое разложение имеет зид

„ _ 2 + 57

.

о а + Ь+7С'

где 7 — произвольное.

Полагая, например, 7 — 1, получим р — ^а-^ЬЧ-с.

О ij

Если вектора а и Ь приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то координаты вершин параллелограмма в базисе a, b будут: (0; 0), (1; 0). (0; I), (1; 1), коордииатьт точки пересечеііия

диагоналей — (-; -1, Координаты одной диагонали {1; 1}, а второй —

{1; -1}. "

5, Скаллрное произведение лекторов. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается (ab) —11 = |а| -|Ъ|сокуэ, Учитывая, что npba = [а| соз(/? и праЪ = |Ъ| сизv^i то скалярное произведение можно записать

(аЪ) = |а| ¦ fb|coa^ - |а|прцЬ « |Ь|

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

(аЬ) - {Ьа} , (a, b + с) = (аЬ) + (ас), (а ЛЬ) = (Аа ¦ Ь) = A (ab),

Если векторы а и b перпендикулярны (у? = 90°), то их скалярное произведение равЕю нулю. Справедливо и обратное утверждение, если скалярное произведение векторов равно нулю, то они перпендикулярны. Для координатных ортои имеем:

(U)-(Ik)=(jk)=p, (il) = (jj)-{kk) = l.

Если векторы а я b заданы своими координатами:

а - + и b - кгйт

то их скалярное произведение оычнсляется ло формуле:

(аЪ) = (то Льк О kg, ІЗЯ + + = МЛ Є Уия Н* VIб!

отсюда следует необходимое и достаточное условие п ерпенд к кул яркости векторов а и Ъ в координатной форме:

х0?ь + УаУь + znzb = 0.

Пусть заданы два вектора а - н Ъ - {^х^.ть}. Угод

между векторами а и b можно определить по формуле:

(аЪ) хихь + улуь + zazb ССЗ <р ш і—: |К| — : ,

|аг|Ь| V^-l-Vl+zl + +

Задача 39, Найти вектор b, коллинеарный вектору а = {2,1,-1} и удовлетворяющий условию (аЬ) = 3.

Решение. Пусть Ь - {хьіУь,*ь} , тогда (аЪ) = 3 = 2xh + Уь - а условие коллинеарности даёт:

ц Уъ — 2.ь „ * 2 - і _ ГТ ~

Отсюда Т(, = 2?, уь ™ t, гь= -і; подставляя их в первое уравнение, получим, что t — а хь — 1, Уь 0*5, щ, — —0,5.

имеем; b - jl, у

Задача 40 Вычислить проекцию вектора а = {5,2,5} на ось вектора b = {2, ™1Т2} . Решение.

(аЬ) 2-5+ (-1) 2 + 52 18 г пр ьа — V— = — у — — — — G.

кь !Ь| + і* 4- 2= 3

Задача 41. Найти угол между единичными векторами а и Ъ: если векторы а + 2Ь и 5а — 4Ь взаимно перпендикулярны. Решение. Так как

(a+2b)(5a-4b) = 5аа + 6аЬ - Sh1 - 6ab - 3 = 0

(?L2 _ в г Ь2 = |b|2 ^ ^ t0 ьЪ = 1 Тогда нме?м с _ lab) =

— (abj ¦= -, отсюда tp =

6, Векторное произведение векторов. Векторным произведенном вектора а на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом с — 'abj и определяемый следующими тремя условиями:

модуль вектора с равен произведению модулей векторов а и b на синус угла между ними, т.е.

jc[ = liabjf = jaf - |Ъ| ¦ sin^j;

вектор с перпендикулярен к каждому из векторов а и b (a_L с, Ь ± с);

направлен вектор с в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от а к b вокруг вектора с представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из она а вектора с Дм ще ТЗИ

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников

к' ¦ " ' ¦ .

Векторная алгебра

Свойства векторного произведения:

1) [ab] = - [ab];

-2) ja, Ъ + с] = [abj + Г»с], или {а 4- Ь, с] — [ас] + (be];

3) (a, >b] ss A [ab] , нл и [Аа, b] = A ab],

Модуль векторного произведения численно равен площади нарал- лелограмыа, построенного на ьекторах а и Ъ, Векторное произведение [ab] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны, в частности, [аа] = О,

Для получения выражения векторного произведения через координаты перемножаемых векторов, составим таблицу векторного умножения базисных векторов; [111 = Mjl =¦ i kkj =0, [ij] = - [ji] = k, ik] = = — |ki| — j, [Jk]--[kj]-i.

Пусть векторы а и b заданы своими координатами а = ixn + JVa + Ч- kzai b - H-jуь + кгь; тогда

[ ab ] ^ [ \xn + + kza) іхь -f jyb + кztl] =

= і {уагь - уага) - j (XbZL - XbZa) + к {хихи - уауь) —

— і Ун — j Х<1 Ztl + k Va уь ч V хь Хь Vb і ®e

Xh УЪ

Va

Задача 42. Найти площадь параллелограмма и угол между его диагоналями, построенного на векторах а = ш + 2п и b = 2m Ч-нт где in и її — единичные векторы, образующие угол 30°, Решение.

S = f(ab]( =- 1(10+2^,211! + п]| - \Л [ntn] + [mn]| |3 fnm]| -¦

*

= 3 [д| ¦ fm| ¦ bin 30° = 1,5 кв. ед.

Угол между диагоналями — это угол между векторами а + b = = 3(m-+-n) и а — b — --ш + п, но так как скалярное произведение векторов 3(т + п) и —т 4- п равно нулю, то угол между диагоналями равен 90й.

Задача 43. Даны векторы а = {3- —1, -2} и b - {1,2,-1}. Найти (ab], [(2а + Ь) Ь]и [(2а - -) Ь)Ь

Решение.

І і j k fabj =3—1—2

12-і

= 1(1 -44) - З 4- 2) 4k(64- 1) as 5Ї +j 4 7k;

((2a 4 b) b] = 2 (fib) Юі 4 2j 4 14k; [(2a - b) (2a - b)J - -2 [ba] 4 2 [ab] = 4 [fib] ^ 201 + 4j + 28k.

Задача 44. Вектор с, перпендикулярный к векторам а — = {4,-2,-3} и Ь^ {0,1,3}, образует с осью Оу тупой угол. Зная, что ]tf| = 26, Еіайтн его координаты.

Решение. Так как с .L а н с 1 b , то

і J k

4 -2 -З 0 13

с = a jab] = а.

= - Зої - 12aj 4 4ak,

где а — коэффициент пропорциональности. Учитывая, что cos/3c = *= гт ~ —j^p < 0 (угол тупой по условию), то а > 0. Далее, |с] —

-- У9аа 4 144а2 4 16а3 - 26 или 13а = 26. тогда а = 2Т а с = -0: - - 24j 4 8k.

Задача 45. На параболе у — х2 заданы две точки А и В такие, что (і ¦ OA) = 1, (і ОБ) - —2, Найти длину вектора ~3 = 2вХ - ЗОВ и скалярное произведение векторов оЛ и ОБ,

Решение, Пусть о2 = ХАЇ + УАЗ: OB = XB'I + УВЗ- ПО условию (і ¦ ОЇЇ) =хА OBJ хв = -2, тогда = х\ = 1, = ц?в «

~ 4. Следовательно, OA = і 4 j, OB = -2i 4 , ? - 20І - ЗЩ5 = = Si - 10j, | ? | - 4 100 = 2^/41, =-2н-4 = 2.

Задача 46. К кривой у= Д проведена касательная в точке

х

А[хаіуа)} где ас, = 2 и эта касательная пересекает ось Ох в точке В{хь>уь) ¦ Найти скалярное произведение векторов QJ^ и АЁ.

Решение. Угловой коэффициент касательной k = ^ I —

= —= —2, тогда уравнение касательной ? — = к(х~ха) или

2л: 4 у — 6 = 0, она проходит через точку В[ХьУуь = 0V, следова-тельно хь — З, А§ = і (дгь - 4 j (ї/і - уа) — і — 2j, OB = Зі, то-гда (ШЗ ¦ АЙ) = Э.

7. Смешанное произведение трёх векторов. Смешанным произведением трех векторо д Л с называется число, равное в екторному

Век/парная алгебра

произведению двух векторов [abj, умноженному скалярно на вектор т.е. (lab]c). Если векторы заданы своими координатами, то

у a. Za

([abj с) = х(і уь zb ,

хс zc

Имеют место тождества:

<[аЬ] с) . (с [аЬ]) = <М Ь) - (Ь [caj) = (a (be)) « ([Ъс]а).

Смешанное произведение (|ab] с) численно рашю объему параллелепипеда. построенного на векторах at Ь, с. Если векторы а, Ь, с компланарны (т.е лежат либо в одной плоскости, либо в параллельЕіьіх плоскостях), то смешанное произведение рэ вне нулю (объём паралле-лепипеда равен нулю), и обратно, если смешанное произведение равно нулю, то век пэры компланарны.

Задача 47, При каких значениях ft вектору а = {о?, 3,1}, b = = {5, —1,2}, с { — 1,5,4} будут компланарны?

Решен и е. Векторы а, Ь, с будут компланарны, если будет выполняться условие

а З 1 | ([аЬ] с) - 5-12 = -14е* - 42 ^ О. -15 4

Отсюда а = —3.

8. Линейные пространства. Упорядоченная совокупность п чисел {ві»йз, ,..л} называется п-мерным вектором и обозначается символом а = ,Оп) ¦

Числа ,.., лп называются компонентами (координатами) пек-

тора, При п ¦= 2 или ТІ — 3 получаем двух- или трёхмерные векторы, которые геометрически изображаются в виде направленных отрезков,

Множество всевозможных п-мерных векторов, е котором установлены операции сложения векторов и умножение вектора на число называ-ется арифметическим їі-мерньїм линейным (векторным) пространством, или просто ті-мерным пространством и обозначается Число тг

называется размерностью пространства

1, Арифметическое одномерное пространство К1 — это множество действительных чисел, его обозначают Е. без указания размерности.

Пусть а = (лі, аг, ¦.н. ап) и b — (fij, ..., bn) — два вектора некоторого n-мерного пространства, тогда:

Если а = Ъ, то сі = Ьг , = Ъ2, ...,ап — b,L (равенство векторов).

Если а ± b = ct то Сі = ai ± Сі^ОЗЇЬі,...,^ (сложение аекторов).

Вели b = Ла, Л, — число, то йі = aiA, Ьа = ..., Ьп = (умножение вектора па число); при X = 0 получаем b^O a^O, где О м (0,0,,., ,0) — нуль-вектор; при А = —1 получаем Ла = —а — вектор, противоположный вектор у а.

tie Аналитическая геометра я и элементы векторной алгебры^ __ ^^JX^LH

Ска л ирным произведением n-мерных векторов а и b (обозн^1[ается (a b)) называется выражение

п

(а Ь) ~ ^яд&л =aibi +a2h + ¦¦¦ + a^ta-

П, Свойства скалярного произведения.

(а - Ь) = (Ь а);

Л (а ¦ Ь) — (АЪ ¦ а) - (Ь-Аа);

(а-Ь+с) = (Ь а)+ (с-а);

А. (а а) ^ 0, причём, если {а - а) ^ 0, то а = 0.

Пространство RTL с введённым таким образом скалярным произведением. называется и-мерным евклидовым пространством и оЁ>означается Еп,

Длина вектора а и угол между ненулевыми секторами и ?

определяются по формулам:

= G = Jp^ 4 = У<і?+аї+.» +

(abl (цй] + fi^ti + . . + otibft CUS P = ^ГГЇЇТГ = r " T= - — ¦

;Bjlbl yja\ + aj ... + + +

Расстоянием между M] — (Ї^ГЗ,..,,!,,) І: Л/2 — > tfn) на~

зывается число

г + («а+ - ¦ ^ -yrt)2-

Итак, множество называется линейным пространством, если для элементов множества выполнены следующие условия:

а) введена операция сложения элементов множества;

б) определена операции умножения элементов множества на число;

операции сложения элементов множества и умножение элементов множества на число удовлетворяют следующим аксиомам:

I) а 4 Ь ~ b t ц,

2} (а + Ъ) -f с-а +{Ь + с).

3) существует (J — нуль-вектор такой, что а+ 0 = а, ¦4} для каждого а существует противоположный вектор —а. такой, что н — а -г- О,

5) А(я + Ь) = Аа + ДЬ, 6| (А + jrfja = Аа f ,1А,

A^Ja)^ (AJ)a,

І а = а

Линейными пространствами Аудут {при условии выполнения условий а). в}):

Векторна я алгебрja

— множество веем ьектороа. принадлежащих некоторой прямой или

параллели юн си;

множество всех векторов принадлежащих некоторой плоскости или параллельной ей;

—Лмножество всех векторов пространства;

МНОЖЕСТВО ВСЕХ меюгочлєіюіі (jt ^ п — 1)

fk№) ~ Акхк + Аь-ія*1'1 -к..

множество всех матриц размера п-т;

множество всех функций, интегрируемых НЕ отрезке [аЬ].

Линейной комбинацией векторов а^ ,а;>.аз,... ,ан ті-мерного пространства (которая также пвлпетси эектором) называется сумма вида Ajai 4- + +* где Ai> Aah.,,,А^ — действительные числа,

называемые коэффициентами линейной комбинации.

Система векторов ai, а^ї a:it--называется линейно зависимой,

если найдутся числа Aj, А^ Ль не равные одновременно нулю {хотя

бы один из А & отличен от нуля) такие, что линеЙЕіая комбинация равна нулю Аі^і + А?аз н-... + А*ад. = 0.

Если же это равенство выполняется только при Аі ^ Аг ¦ ¦ = At = — О, то система векторов называется линейно независимой. Система неиторов, содержащая нуль-вектор, всегда линейно зависима.

Если хотя бы одни из векторов системы выражается в виде линейной комбинации остальных, то система линейно зависима.

Любая система ті-мєрі-гьіх векторов содержит не более чем п линейно независимых векторов.

Используя матричную запись системы ЇЇ линейных уравнений с « неизвестными (см. §2) АХ = 0Т где А — матрица, столбцы которой составлены из компонент аекторов aj, а^, ,, аГ4, X — столбец составлен из чисел Ai,Aj,... 1Xtl. Тогда векторы а^а^а^... ,a,i являются линейно независимыми, если система уравнений АХ и 0 имеет единственное решение (нулевое), т. е, если определитель матрицы А не равен нулю.

Пример 1, Являются лн векторы ai = (1,3,5,7), а5 = (3^,7,1), а^ = (5t7,l, 3), = (7,1,3,5) линейно независимыми?

Решение. СОСТЙЕІЛЯЄМ определитель матрицы А

Л =

- 2048^0.

13 5 7 З Й 7 1 5 7 13 7 13 5

Так как Д/0, то система векторов а:, а2, а3а4 является линейно независимой.

Пример 2. Являются лн векторы

Є[ « (1.0,0,.,. ,0), ез = (0,1,аг..,()}> (0,0,-

линейно незаліОнмкмл? ) для озн комлені я ¦

определитель из компонент векго-

Решение. Составляем РОЭ . ¦ ,ert

1 о

о о

о

О

О

А -

= 1.

О 0 0 ... 1 і

Так как Д Оп то даинал система векторов является линейно незави-симой.

Базисом п-мерного пространства называется любая система из п линейно независимых векторов этого пространства. По векторам базиса можно разложить любой вектор пространства единственным способом. Следовательно, если вектор b разложен по линейно независимым векторам аі,а2>3ат-** ,аЛ, то b е» a^ai + о^а^ + огпа„. Числа

0:1,0:2, да, называются координатами вектора b в данном базисе

{при тг = 3, см, задачу 38).

Пример, Даны векторы а^а^а^а^ (см. предыдущий пример) и вектор Ъ = (12,0,4,16)- Доказать, что векторы аі,&г,аз,&4 образуют базис в четырёхмерном пространстве ill4, и найти координаты вектора Ъ в этом базисе.

Так как определитель, составленный из компонент векторов ^ьа^а^ал, отличен от нуля (см, предыдущий пример), то эти векторы линейно независимы и количество векторов равно размерности пространства (n ~ 4). Следовательно, вектора &і,аз,03,04 образуют базис в четырёхмерном пространстве. Для нахождения oti, агt «з> нужно решить систему уравнений

Ъ = аіаі 4- +азаз -З-а^а* или АХ = В,

Эта система уравнений решена в § 2. eti — 1, о2 ~ —1, с*э = 0, а4 = 2, Таким образом, искомое разложение вектора Ъ по заданному базису а1: а3,а4 имеет вид Ъ - а2 + 2а4.

Пример. Показать, что система векторов ei == (1,1,1,1,1,1), е* = (1,0,0,0,0,1), вз = (0,1,0,0,0,1), е4 а (0,0,1Т0Д I), е3 = (0,0,0,1,0,1). efi - (0,0,0,0,0,1,1) образуют базис и найти координаты вектора Ь = (3,4,-2, —1) в этом базисе. Так как ОПредеЛИТеЛЬ, СОСТаВЛеННЫН ИЗ КОМПОНеНТ ВеКТОрОВ Єі,Єї,Є3, Є4,Є5,Єб равен Д(^) = 4 и отличен от нуля, то зти вектора линейно независимы и количество векторов равно размерности пространства (тг = 6), следовательно, эти вектора образуют баэис в R6. Для нахождения координат вектора b в этом базисе нужно решить систему уравнений Ь atei + жтл Ь КО + Ля + ЗН ааом ли НИ = В, отсюда

имеем Х = А~1В, где

( 3 \ 4.

-2

\Aj

А -

в =

/ 1 1 О О О С \ 1 I 0 10 0 0 10 0 10 0 1 0 0 0 1 0 і о а о о і V і і ї ї і і/

1 1 -1 -1 "1 -1 -1 3 -1 -1 3

( J 1 1

1 1

\)

л-1 =

3

-1 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

V

( \ а*

ал

V /

/ * \

5 7 11 -13 -9

-6 j

1 4

V

Таким образом, искомое разложение вектора b имеет вид Ь = ~ (5е, + 7е3 + Пс3 - 13е4 - —

Матрицу А н матричном уравнении АХ = В можно рассматривать как оператор, т. е. правило по которому каждому элементу х из множества X ставится в СООТВЄТСТВЕЇЄ элемент Ь из множества Ву А саму мат-рицу А называют матрицей оператора А, Таким образом, соотношение АХ - В устанавливает связь линейного оператора А с системой линейных алгебраических уравнений и взаимно однозначное соответствие с матрицей А. Операции над операторами вводятся согласно операциям над матрицами, т.е. основные понятии, имеющие место в отношении матриц (см, § 2), как правило, распространяются и на операторы.

Оператор А называется линейным, если

.4 (АХ) = А АХ н А (а^! + a*tX2) = axAX -I- а2АХ

для любых Xj, Х2 и для любых f*i и aj.

Если линейный оператор отображает X в X, то он (В) называется единичным оператором (X ~ ВХ).

Над линейными операторами вводятся следующие операции:

1} сложение операторов + В)Х ~ АХ 4 ВХ\

умножение оператора на число (АА)Х = А(А??);

умножение операторов (ЛВ).Х =

Обратным к оператору А называется оператор А"1 такой, что = Л_1Т = ?, сде Е д ея внчнН осератор.