§ 2 УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ МАТРИЦЫ А"

Ах = 1х, (3.6)

Это уравнение можно также записать в следующем виде:

(А — Х1)х = 0< (3.7)

Векторное уравнение (3.6) или (3.7) представляет собой систему однородных линейных уравнений и имеет не все решения, равные нулю, если определитель матрицы коэффициентов этой системы равняется нулю, то есть если

\А — Л/| = 0с (3.8)

Это характеристическое уравнение матрицы А; числа Я, для которых оно справедливо, являются характеристическими шрнямй матрицы.

Умножая слева обе стороны уравнения (3.6) на матрицу Л, получим:

А2х = 1Ах, то есть А2х==1(кх)у

откуда

А?х == А,2лг.

Последнее уравнение удовлетворяется, если определитель

I A2 — W 1 = 0. (3.9)

Действуя далее подобным же образом, находим, что характеристическое уравнение матрицы Ат имеет вид Атх=Хтх и является справедливым, если определитель

| Ат — %т11 = 0. (3.10)

6 О. Ланг$

Из уравнения (3.10) следует, что характеристические корни матрицы Ат являются m-ми степенями характеристических корней матрицы А. Из уравнения Атх=Хтх при векторе хФО следует, что Ат стремится к нулю, если стремится к нулю, и обратно, %т стремится к нулю, если Ат стремится к нулю. Следовательно, необходимым и достаточным условием того, чтобы 0 при т->оо, является, чтобы при

т->оо. Это условие удовлетворяется в том и только в том случае, если |А*|<1.

Отсюда следует, что необходимое и достаточное условие сходимости ряда /+Л+Л2+Л3+ ... заключается в том, чтобы все характеристические корни матрицы Ат имели абсолютное значение, меньшее 1.

Поскольку характеристические корни матрицы Л и транспонированной матрицы А' одинаковы, то указанное условие определяет и сходимость ряда /+Л'+

+ (Л7)2 + (Л/)3+... .

Выясним экономический смысл условия |Я{|<1. На основе уравнения (3.6) можно установить, что Атх=КАт-1х. Поэтому решение (3.5) можно записать как

*«Н-( 1+Я + Я2 + ...)Ау.

Если |Я|<1, то абсолютные значения последовательных приращений валового продукта уменьшаются с коэффициентом |Я|. Таким образом, абсолютные значения характеристических корней %і являются коэффициентами уменьшения последовательных приращений валового продукта в цепи обратной связи.