§ 62. Разложение функций в степенной ряд, Применение стеленных рядон
Теорема 42.
Для того, чтобы функцию f(x) можно было разложить в степенной ряд на некотором интервале, необходимо и достаточно t чтобы f(x) имела на этом интервале производные всех порядков и чтобы остаточный член в формуле Тейлора (см. §30) стремился к нулю при всех значениях х из рассматриваемого интервала при п сю,Таким образом, функция f(x) на интериале {—R, R) может быть разложена в степенной ряд
С0 + - а) + С2{х - а)2 + ... - a)il + ... t
если на этом интервале данный степенной ряд сходится и его сумма равна /(aOi т. е.
f(x) = Со + Сх(х - а) ч- с2(х - а)2 + + Сп{х - а)" + ...
Этот ряд называется рядом Тейлора для функции /(х), а его коэффи циенты находятся по формуле
причём разложение это единственное. Отметим, что если ь ряде Тейлора положить а =¦ 0, то получим частный случай ряда Тейлора, который называется рядом Маклорена.
Рассмотрим разложение некоторых функций в ряд Тейлора (Ма- клорена). При этом мы не будем останавливаться на вопросе о до-казательстве, что lim гТ1 — 0, так как для некоторых случаев это
доказательство сложное. Отметим лишь следующее, что для всех рас-сматриваемых здесь разложений lim rn ~ Q.
В главе IV, § 30 получены представлення некоторых элементарная функций по формуле Тейлора, Рассмотрим теперь разложение этих функций о ряд Тейлора н найдём интервалы сходимости.
Заметим, что при разложении функции в ряд Тейлсра удобно с по- мошью алгебраических преобразований привести исходную функцій к известным разложениям, которые, например, предварительно проин- тегрнронав или продифференцировав.
I. Ра з ложен ие функции f(x) 7= ех а ряд Маклорена имеет вид (см. §30 при lim rtt(a;) =0):
Їі-Jbo
М fl
X
В примере 10 этой главы было показано, что ряд ^ —р сходится
ТІЇ
п=0
при всех х, т.е.
при ™оо < х < со (радиус сходимости Я = оо), В частности, Заменяя а; на получим:з Xі Xі х6 д-гп
12 ^ 1 ^ } nl '
2!
учитывая, что ах — є1"1" — е*1"1*, получим
, , xlna _ (slntQ3 , (а? Іпа)"
П!
2. Разложение функции f(x) -siui в ряд Маклорена:
— 1
+
З! + 5!
1-І 3
am х = х
{In - 1)!
Найдём интерзал сходимости этого ряда:
т I*11"1
(2ft — 1)!'
^ = НУ
їп-hl
X
Wn+l = (-1)*
- C-l)n
(2п* 1)1
lira
Тогда
(аг - l)h(Sn) (Sn+ 1}'
— lim
T1-+W 1 Urt I n-+oo
X
— 0
2rt(2n + 1)
при всех значеннях x, т е. —ос < х < то (радиус сходимости R = ос). 3. Разложение функции f(x) в cosх в ряд Маклорена:
2 4
Интервал сходимости этого ряда также— DO < х < оо (радиус схо-димости R = оо), так как
ШУ
1 - {-l)n+l
- п - (-іГ+1
(2 п + 2J?
lim
ТІ —н со — lim "rv Л—>«J X
(2т:)! (2n + 3) ¦ (2u Н- 2)' ~ 0 при псех значениях х,
(2n + l)(2n-f-2) Золпгчание, Рассмотрим разложение е11 а ряд Маклорена
Ах _ , >_ іх (zx)3 j (їх)4 <ія:)а (її)0
С "h X! "ЗГ + ЗІ + 4 + "&Г + + "
Учитывая, что І2 = * —1. і3 — -і. і4 = 1. = — —1 и т.д.,
получим
З -З 4
. і х
їх х . гх з:
ґ11 = 1 + і: - - U L ^ -L- і ~ _ J- — 1 _ _ |_ ~ ~ L
Н Я т Зі т 41 ^ 51 СГ ^ " " 21 4! ЄГ
/ -a з \
Далее, заліеняя х на —х, находим e_lT * стах¦ — isina:. Выражая из двух последних формул coax и sin х, имеем формулы Эйлера (см, стр. 569)
е" + е~,лг
3ltl X —
COS X =
2 ' 2г
elx — COS X 4- і 5ІП Xi е"11 — COS х — і sin х,
4, Разложение функции f(x) (1 -f где ct — произвольное число;
II 2Г тг!
Если сї — целое положительное число, то. начиная с члена, содержащего все коэффициенты равны нулю и ряд превращается в многочлен, т.е. мы имеем обычную формулу бинома Ньютона. Прн а дробном или целом отрицательном имеем бесконечный ряд. Определим интервал сходимости:
ftfof — 1)...
fa — и.4-1) Hi„t тг!ип ~
- n!(n+l)
Тогда
Ііш
TV—»СО ТЙ14-1 = lirti n—oa
n^q ^lj ... (д- n) _ ПІД"
n{(n+l) 1) — nH-1)
fa — n)x
= |ar|.
tx *+" 1
= lim
Я—4O0
Ряд сходится прн [x\ < ] {R — 1).
В частности' а) а =
і + х
= 1 -г (-І)""1!'""1 + ..
Интегрируя этот ряд почленно, имеем:
f = ь(і+») = .- ? + ? + (-1)"+1?
J I + я: 2 '1 ri.
Это разложение справедливо и при д: — 1. т.е. интервал сходимости этого ряда — I < f < L
1 = ! _ 1 + # _ ... + (-1,-1 + ... vTTr 2 М 2-4'б...(2п)
1-3-5...(2н- 1) , 2 4
Подставлял вместо а; выражение —а;2, получим
і . . 1, -j . 1-3
2
Уь^ 2 2' 4
н, проинтегрировав от 0 до і; (].т| < 1), получаем
dx
— arcam х —
~ т ¦— -4- . ^ + J- — —д 1—.. . .
" 2 3 2-А 5 2-4-6.*. (ЭтО ¦ (2п - I)
Этот ряд сходится при |;с| <1
5. Разложить в ряд по степеням (х — Xq) функцию 1л(аа* + Обозначив t — X — XQ, исходную функцию преобразуем к виду
ln(fli -f 6) = 1п(Ь + ахс М- at) = 4- a^o) + In
Воспользуемся разложением логарифмической 1п(Т + х), причём
\х\ < 1. Полагая х ^ г-——, получим:
1 Ь + ахо
1п{»»+4) =1»<4+«*)+? Цр ('таг)1'
при \х ~XQ\ < |д?о 46. Разложить в ряд Маклорена следующие функции: /і(х) = аіп4 х + cos4 /з{:с) = sinG х + cos15 х; /:і(х) = еаґ cqs(bx + с); /і(г) = еаґ sin{for -f c).
13 Ю. И. Климента
f\ (я) — sin1 X + сон * X ~ (sin2 X + COS" 2 sin2 x сон2 x —
1 1 ¦ ь 31 . 3,1 ^J л = 1 - - ш" 2x =4= -. + - cos Ax = 3 + 7 V 1) T — (в№й x 4- cos2 з) (sin4 аг + cos4 x — sinJ x сои" x) — ¦rj — lf(sln3a? -f-COeV)2 - 3 sin2 X COR2 з?] = 1 - -S\v?2x — - a . з _ б ^ з f, ,ir(J*fl -a + acos4x-e g 4 (2n)\ ¦ Интервал сходимости рядов /і (я) и /2(2?) есть ^оо < х < оо. Учитывая выражения для Л-Х производных функций /э(х) и /4(д:)Г полученных а § 55, будем иметь (tg (зо п СО п „ ЛМ - ? ^Г /і110w = ? ^ + * M + = 0 п=0 „ п. Другой способ. Рассмотрим функцию /(л) = /3(г) + = е*ее*(*н-й>). /^>(0) = еіс(а + гЬ)4 = (a2 + Ь2Г/2еііе+**\ CO ^Ti = H ~~F fa3 + Ьг) з (cos (c + їі^?) + і sin (с 4- n Отсюда имеем /л(х) = Re/(j) и /4(3;) = Интервал сходимости рядов fz(x) и /4(3:) также есть —оо < х < оо. »/ \ Xf А , ¦ \ (язч/2/ пїг , . . тгтг\ д®) = с (cos і + -—-j — [cos — + г ані — J, n*0 отсюда е соаі = > cos ¦—,eTsmar = > ^ sm~. n —О т»=0 546 Задание 1, Проверить разложение в ряд Маклорена следующих функций: Мх) = (ха - Зх + 2)'1; /а(аг) = (1 - s - ж3)"1; /з(х) = сой3 ж; /4(2) — si л2 X'; = (І - fi1)-1 при й > 1, х 0 и 0 < а < 1, х > 0; /в(аг) = Ь(я: + vTT^); f7{x) - (1+ Решение. Мх) - "ЗхЧ-2)'1 = (я - 2)-1 - (х - І)"1 =-І (l - I)"1 + 4 1=0 п=0 \ / f^'^il-x-x^r1^ —(— —) - 1 . Vb — Я3 I \/s 2 ' = arj — xi — = —1 і "J. (1 - —Vі - J- (1 - —F'l = v! i'li I / ^a \ sW J v5 „_0 L J « 7 |x| < x. (2»)! І55Г" /3 (x) = COS- X t= + ^ СОЗ 2л; QQ оо < г < оо. = 1 + 1; C—IV n=l ^ -, . ¦ і ¦. 11 1 lfMrNln_ f4{x) = 5ІП ^ = 2 ~ 2 я і _ і cos = X - 5 l-lj Т^гтг - 2 ' (2n)\ ¦Зя-і а» LAj — I Л Г1 оо. п = \ Xj зо /»(*> = (1 - 0*>-1 = Т, = ? ntO ті—О п<2]1 уу" г3* и ПрОИНТ* (2n)I! г лри а > 0. х < 0 и 0 < а < 1. * > 0. Учитывая, что (1 + = 1 - ? Ни \х\ < 1; /в(«) - іф + У і + ®я) - я - ? С-1)' (2п)1! 2„+1 (2п + 1}!і =• 1 ¦ 3 ¦ 5,.,{2п -1)(2п+.1), трировав это разложение, получим (е= 0, так как /в(0) = 0) п~1 (2п - 1)П s. I ¦ 3 ¦ 5. ..(2п -3)(2п - 1), (2n)1! ~ 2 4 Є ... (2тг-2)(2тг). = е ( 2 3 \ 3 і „з ] - Г X а? X* т2 = е 2 Задание Проверить вычисления: Функцию у — ——¦— разложить в степенной ряд: а) по степеням х; б) по степеням х — 1; в) по степеням 1 Jx> Функцию у разложить в степенной ряд: а) по степеням х — 1; 1 х+ 1 6) по целым положительным степеням дроби Решение. I. Используя разложение (1-х) 1 =ь ^ хп (|т| < l)t получим а) rb = 5 С1 "I)"1 = 5 (І)" при ІТІ<2: п=0 DO <*) = [1 + (I - - ? (Я - l)ft при [І-я| < Ї; n^r о аг 71 2, Используя разложение 1п(1 + я) ^ ( —— ( — 1 < s ^ l)t имеем ft* І Л а) \пх = Ці Н- (z - 1)] = jr (-I)"^—U" при -1 < a - 1 ^ 1 n—1 или 0 < і ^ 2. „ , ж - I l + t 1 -t б) Пусть t = , тогда it = и x +1 « tn ka: - In і±ї Ы1 + t)~ ln(l -1) - ? (-1Г ^ + E 7Г = тя = ] n—I t3 t4 tft te ta ta t tb ? - t -ц т X Ї _i_ при x > 0. 1. х— Задание. Проверить нахождение пределов; чЛ - л/і + 2х+,хл ¦ 1 — cos ? 1 — cos x + ЇХ 4- ^ [1 4- (Ьх + x*)\V* = 1 + \ (3s x7) - Uzx + x )2 + 01 J VTT^T^ - [1 + (2a; + *3)Г/3 = 1 + + *3) ~ |<2a: + x3)2 4- + ~(2a: 4- я3)3 + о(я3) = l + + 1U Лг lim я- >-0 УЇТіаГ+я* - \Л + 2аг-Ы3 і — cos х I* 2. lim [(я3 - аг3 + %) - 1 - Нтн ('ж11 - х2 + х X—L \ A j J jH-iot, \ і I x x = - lim ^ = 0. v—6 3. Иш f A - j—= lira = lim i^o am аг/ зг^О ssmx 4 Иш tga -afa (sinar) = x—»o ahix — x я + 4- — (sin x — ~ siaa x + } = Літ „\ G Z. - x — + о{хл) - т. і + = lim (1 +*)' - 1 _ и lim 0 In — lira 1—s " + > „ ,, sin tg 3! — tg siri X 6. Um j-2 2 x^O а: - з: arctg я; x3 - x arctgx2 і3 - x (x2 - у + o{x )j - + o(x% sin tga; = tgx - і tg3 x + tgs x - ^ tg7x o(tg7x) = _ .+p + »* + fa , * («.++ »+1 («•+f*') - --7 x" . f , 1 3 3! ЇКЮГ" . ґ Тч Є 40 iooa - Y + o{xJ) = ,T-f- ~ - — - — + tg sin ® = ащя + \ sin3 х + ~ sin5 хЛ-^- sin7 х + фіп7 л:) = д 15 315
-K
<10 107t7 5040
= 37 Ііш = Ы + = -І.. я — х arctg х Ї-, 10 йа (r^w - r^V)прн if t o)— - lim / ™ » ^ « -(i+0"rL і — (i + t)nJ m it = lim — lim m — її 1 St Г) X dx = Г dx а: ЛГ э в _ х -J- ^ 3 -3! * 5 -5! 7» V" (-1Г* = ? 12' fa (і+») dg , g = f; fc^ j*— - І І fi=l n ос о о "-І (см. приложение), L 1 ос I arctg х 0,915 965 , dx — у-Г и**** .** = МГ п—О ^ ' о і f и=0 і 1 + X fix ¦2 \n(l+x)— - v X Jn і. — _ = I — X Л' H м тг 7Г W о Пример 14, Используя ряд Маклорена для функции f(x) = ^а-^Г+л:, ныразить величину \/72 э виде сходящегося ряда. Найти приближённое значение этой величины, ограничиваясь двумя членами этого ряда. Решение. Так как Уті = ^64^8 - 4 Ml + А = 4 (Ч + | V , то, 1 1 подставляя в разложение функции (1 + а:)й, х ^ -t а а = - > получим: н/т^1^ лЛ L 1 12 1 I 125 1 Ї -4 = 0,00048 < 5 ¦ 10 T, е. 10 3GS ty72 & 4,1597^4,16- Пример J5, Используя ряд Маклорека для функции /{#) = 1п(1 + + выразить величину In 1,15 в виде сходящегося ряда. Найти приближённое значение этой величины, ограничиваясь двумя первыми членами; оценить погрешность. Решение, а ^ 1п(1 + х) = х - у + — - ...; 4Ь2] при х = 0Д5 имеем: 10(1,15} = Ь(1 +0,15) = 0,15- ^(0Д5)а Ч- ~(0,15) — 0,15 - 0,01125 4- 0,001 125 - ... Если ограничиться двумя членами ряда, то ЬіІДб ~ 0,13^75. Так і' X как ряд х —— + -jj- —™ + ... знакочередующейся, то погрешность вычисления не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена, т.е. не превышает 0,001 125 < 5 ¦ Ю-3. од ^ _ Пример 1G. Выразить определённый интеграл —— в виде сходящегося ряда, используя ряд Маклореиа для подынтегральной функции. Найти приближённое значение этого интеграла с точностью до 10"3, Решение. Ог1 0,1 dx sin IQX dx = 0, J f - - [ , /1Л 103 a , 10 <1 ҐІ \ од = 1 - 0,0556 + 0,0017 - 0}9461 и 0,946. г) Если первая из отброшенных цифр равна 5, а среди следующих за ней цифр есть отличные от нуля, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается па 1, о 1 ? 2 "х dx в виде Пример 17. Выразить определенный интеграл о сходящегося ряда> используя ряд Маклорена для подынтегральной функции. Найти приближённое значение этого интеграла с точностью до 0,001. Решение. - dx —
0,5 к а:2 2
о 4 »
Jj- ~ т + sir 40 ~
336 I" 2! 22 dx ~ е г о,& 1 ^ , 3! ? + 0,5 « 0,5 - 0,0208 + 0,0008 та 0}48. 3. Степенные ряды можно использовать при интегрировании дифференциальных уравнений. Рассмотрим это на примере, Пример 18. Найти решение дифференциального уравнения у" + - ахif + by — 0 {а и b — постоянные), удовлетворяющее начальным условиям у(0) — 0, з/(0) = 1. Решен и е. Так как уравнение линейное с переменными коэффициентами, то не существует общих методов для нахождения о конечном виде общего решения. Поэтому будем искать его решение в виде бесконечного степенного ряда: = Со + Сіх + Сгх2 +,.. Спхп + . Используя начальные условия =0 =Оа, = 1 = С\, получим: Со = 0, С\ — 1. Следовательно, у(х) = х + С^х2 + С$хл -і- ... Находя первую и вторую производные и подставляя в исходное уравнение, получим многочлен, который равен нулю при произвольных значениях xt т.е. только тогда, когда все коэффициенты равны нулю. Приравнивая все коэффициенты к нулю, получим систему уравнений: а + Ь X За-f Ь 20 О = 2С2, С2 = 0; 0 = G С3 + а + Ъ,Съ = 0 = 12С4 + 2С2а f ЬС2, Сл = 0; Сз; Х- 0 = 20СЙ + ЗОСз + ЪС3, С» = Xі 0 ~ (п + 1){п 4- 2)С\,+3 -Н паСп + ЬСп> па + b ~ 'пі С-п+2 - (п -+- 1)(тї + 2) -— 554 Поде гаи ляп найденные коэффициенты^ получаем искомое решение й + Ь* а + Ь $а \-b 5 [а + Ь)(3а + Ь){5« + Й) 7 у\х)-х б^+с 20 6 .ВД. 42 + В частности: 1 - а - & = -1; у" - -у = 0; —+т + я + --я(1+т + я(т),+-1— 2. о = Ь - у" - - Ау - 0; _ ¦ Лзг* 2! + ... = хе Задание. Проверить выписанные первые четыре члена разложения в ряд по степеням х следующих функций: і а / У X Лг sin(a: -j а) sill а ¦+¦ х cos а — — sin а — соз а + ... j Xі oos{ д: 4-а) = cos а — х віп а — ^ cos а + sin а н- cos3х = ^ + ^ cos2л; = 1 - х* + у - ~ я0- (sin2 х 1 — cos^ я;), 6. (і±хуі ^itI + I®1^^®8- С 2 6 720 g = 1 + яг + * і в 9. є** = + Y + T + 1-і 5 5 7 1L v^+T) = ~х) = _ зг3 З 5 5_ 7 * 6 40 ^ 112 ^ 2 4 6 - 0 < |х'| < я\ 12, in| smsj w 1п|л;| - ^ - _ - ^ 2 Л 6 t 7 8 ¦ л а .і. ш 112] IS.lnw---^--- — 14. + — <•* rt ' 1 ' * 90