§ 3. ПРИМЕР: МОДЕЛЬ КОНЪЮНКТУРНОГО ЦИКЛА ПО М. КАЛЕЦКОМУ

1. Запишем А,=а-И'Р.
   Тогда

п__ + 1 _ (а+Р + Ф V X — 1 (а — 1) -f'/p

1(а+1) + /Р12 _ (а+1)2 + Р2

- | (а — 1) -f /р |2 (а— I)2 + Р2 '

Если |р|<1, то и |р2|<1, и наоборот.

Тогда (а+1)2+Р2<(а—1)2+р, откуда 2а<—2а, то есть • а<0.

2. Модель М. Калецкого, получившая мировую известность, впервые была опубликована в его работе «РгбЬа teorii koniunk- tury», Warszawa, 1933 (частично перепечатана в книге Ргасе z teorii koniunktury і933—1939, Warszawa, 1962). Затем она публиковалась в различных вариантах, последние из которых: Theory of Economic Dynamics, London, 1954 (переведена на польский язык, Teoria dynamiki gospodarczej, Warszawa, 1958) Моделі M. Калецкого подробно рассматривается в книге: Р. Ал-инвестиционных благ L(t), решения об объеме инвестиций, то есть объем инвестиционных мероприятий B(t), национальный доход Y(t), валовое потребление C(t) и фактические чистые инвестиции /(/)•

Между. этими величинами существуют зависимости, выражаемые следующими уравнениями:

(5.20)

то есть приращение наличного основного капитала равняется чистой продукции инвестиционных благ;

(5.21)

L(t + e) = B{t),

то есть чистая продукция инвестиционных благ в (/+0)-й момент, равный объему инвестиционных решений, принятых в момент t. Следовательно, между решением об инвестиционном мероприятии и производством инвестиционных благ проходит период 0, принимаемый за постоянную.

B(t) = a [V (t) - С (<)] — bK(t), где а > О, Ь > 0.

(5.22)

Это значит, что объем инвестиционных решений пропорционален непотребленной части национального дохода, то есть валовому накоплению (сбережениям), Калецкий исходит из того, что накопляют только капиталисты, которые также и принимают инвестиционные решения.

лен, Математическая экономия (перевод с английского). Мм 1963, стр. 199—207. В несколько упрощенной форме модель анализируется в сборниках: О. L a n g е, Pisma ekonomiczne і spo- leczne, Warszawa, 1961, Operations Research and Systems Engineering, Baltimore, 1960 (статья M. H. Chiksy). Модель Калец- кого рассматривается, также в книге: А. Т u s t і n, The Mechanism of Economic Systems, London, 1953, p. 12—14.

при данном объеме национального дохода и объеме потребления эффективность инвестиций тем меньше, чем больше запас наличного основного капитала:

Y(t) = C(t) + /(t)> (5.23)

то есть национальный доход есть сумма потребления и накопления:

C{t) = cY (*), где 0 < с < 1, (5.24)

то есть валовое потребление пропорционально национальному доходу; с есть коэффициент потребления:

- t

/(0 = 4 \B{t)dt, (5.25)

t-Q

то есть общая сумма чистых инвестиций в момент t равняется среднему значению всех инвестиционных решений, принятых в период [t — 0, t]. Это объясняется тем, что в момент t в процессе реализации находятся все инвестиции, решения о которых были

/

приняты в указанный период, то есть J В (t) dt\ однако выполнена лишь -д- часть этого объема.

Для целей нашего анализа удобно представить эти уравнения в операторной форме. Имеем:

1 В уравнении (5.31) фигурирует определённый интеграл

j B(t)dt— J B(t)dt— J B(t — Q)dt. В операторной форме это /-Є

можно записать так:

йти уравнения определяют линейную систему взаимосвязанных действий, блочная схема которой приведена на рис. 52. Как видно из рисунка, в эту систему включены три обратные связи. Одна — это связь между элементами, определяемыми оператррами £0, D"1 —Ь\ ей соответствуют уравнения (5.26), (5.27), (5.28). Вторая связь соединяет элементы, определяемые операторами 1,1, с\ она выражена уравнениями

^(5.29), (5.30)., Третья связь соединяет операторы - £"~0), 1, с, — 1, а\ ей соответствуют уравнение (5.31), первое слагаемое в правой части уравнения (5.28) и второе слагаемое в правой части уравнения (5.29). Как видим, в этой системе происходят следующие преобразования: пропорциональное преобразование (операторы 1, а, — b> с> дифференци

рование (оператор D), интегрирование (операторІИ), опережение (оператор £в) и запаздывание (оператор £-е).

Систему уравнений (5.26)—(5.31) можно выразить одним уравнением. Объединяя выражения (5.26) —

(5.28), получим: ч

DE?K{t) = a\Y(t) — С(/)] - bK{t). С учетом выражения (5.30) имеем

DtfKit) = а{\ —c)Y{t) — bK(t). Объединим формулы (5.29) и (5.30);

V(t) = T~I(t).

Подставим этот результат в полученное ранее выражение

DE?K(t) = aI(t)-bK(t).

Подставляя же вместо I(t) правую часть уравнения (5.25), имеем

DEeK(t) = a±D~l(\— /Г"0) В (t) — ЪК (t).

Из уравнений (5.20) и (5.21) получим В(t) =EWK(t). Учитывая эту зависимость, получаем '

D&K(f) = а і D~x (1 — £~е) E?DK(t) — bK{t).

Отсюда в конечном итоге

D&K(t) — ЬК{І) X (<)■ (5.32)

Полученный результат есть линейное дифференциально-разностное уравнение с постоянными коэффициентами.

[DeD + а(\ — eD)]K(t) + bK(t) = Q

или

[{D - a) eD + а + b\ K(t) = 0. (5.33)

Оператор (D — ayeP+a + b в левой части выведенной формулы (5.33) есть общий оператор системы, определяемой уравнениями (5.26) — (5.31). Дифферен- циально-разностное уравнение (5.33)—это уравнение реакции такой системы; оно соответствует рассмотренному выше преобразованию T~]y(t) =x(t). Функция выхода системы есть K(t)\ она отражает динамику изменения запасов наличного основного капитала. Вместо запаса наличного основного капитала в качестве выхода системы можно взять другие величины, например национальный доход Y(t). Принимая во внимание выведенные выше соотношения, получим

а (1 - с) V (0 = DeDK{t) + bK(t)

или

Левая часть уравнения (5.33) представляет собой функцию входа системы x(t). Однако в данном случае тождественно имеем x(t) = 0, и уравнение однородно. Это означает, что система не получает питания извне и динамика состояния ее выхода /((О или Y(t) зависит исключительно от «собственных признаков» системы. Соответствующая блочная схема приводится на рис. 53.

Рис. 53

Решение уравнения (5.33) находим, предполагая, что оно имеет вид K(t)=KoeKt> где Ко=К(0) обозначает запас наличного основного капитала в начальный момент. Подставляя эту функцию в уравнение (5.33), получаем характеристическое уравнение:

(1—а)ек + а + Ь = 0.

Как видим, левая часть характеристического уравнения является показательным многочленом.

Действительные корни показательного многочлена (5.34) и условия их существования можно определить графически. Для этого напишем характеристическое уравнение (5.34) в таком виде:

(Я,— а)ек = — (а + Ь).

Обе части этого уравнения представлены на рис. 54а и 546. Левая часть есть функция переменной X, представленная на графике кривой, уравнение которой есть f(X) = (X — а)е\ Правая часть представлена горизонтальной прямой, уравнение которой есть у = = — (а+Ь). Действительные корни даются точками пересечения кривой f(X) с прямой

Функция f(X) обладает следующими свойствами. Она непрерывна, и ее производная есть /'(А,) = (1 + + Х — а)е\ Следовательно, эта функция является возрастающей для Х>а~— 1 и убывающей для Х<а— 1. В точке Х=а—1 она достигает минимума. Если Х-> —оо, то f(X) -> 0, если же +оо, то f(X) оо Минимум функции равняется — ёа~, а в точке А,=0значение функции есть —а. Нулевое значение функция имеет для Х=а. Эти свойства наглядно представлены на рис. 54а и 546. На рис. 54а принято, что а<1, вследствие чего минимум функции находится слева от оси ординат. Если а> 1, то минимум находится справа от оси ординат, что представлено на рис. 546. Общий вид функции остается таким же.

х

кривую функции f(X), то она пересекает ее в двух точках. Это показано на рис. 54а и 546 (точки І? и S). Если а< 1, то точки пересечения располагаются слева от оси ординат, то есть при отрицательных значениях X (см. рис. 54а). Если же а > 1, то точки пересечения располагаются;справа от оси ординат, то есть при положительных значениях X (см. рис. 546). Условие пересечения прямой с графиком функции f (X) выражается неравенством a+b<ea~l. В предельном случае а+Ь=еа~1 прямая касается кривой функции f(X) в точке Q. Точка касания находится слева или справа от оси ординат в зависимости от того, а < 1 или а> 1; если а= 1, точка касания находится на оси ординат.

Поскольку, по условию, а>О и Ь>О, то горизонтальная прямая у= — (а + Ь) находится ниже оси абсцисс и даже ниже точки Р, соответствующей значению ординаты (—а). Поэтому если Зта прямая пересекаетграфика функции f(X) и характеристическое уравнение не имеет действительных корней.

Итак, оказывается, что действительные характеристические корни существуют, если а + Ь-^е®-1, причем их два в случае неравенства и один (дврйной), если имеет место равенство. Эти корни отрицательны, если а< 1; положительны, если а> 1; в частном случае, когда а= 1, существует один (двойной) корень, равный нулю.

Комплексные корни характеристического уравнения (5.34) мы находим, подставляя в уравнение выражение А,=а + /р. Тогда имеем

(а — а + /р) е*+® + а + Ь = О

или

(а — а + /р) еа = — (а + Ь) е-*.

Принимая во внимание формулу Эйлера e-iP=cos р— — /sin р, получим

(а — а + /р) еа = — (a +• b) (cos р — і sin p).

Действительная часть выражения, стоящего слева, должна быть равна действительной части выражения, стоящего справа; мнимые части выражений, стоящих слева и справа, также должны быть равны. Таким образом, справедливы равенства:

(а — а)еа = — (# + b) cos р, (5.35а)

p£a = (a + 6)sinp. (5.356)

Из равенства (5.356) имеем

/

Подставляя это выражение в (5.35а), получим: (a -a){a + b)^- = — (a+b) cosp

или

(а — a) tg р = — р.

Отсюда:

Поскольку а и Р— действительные числа, решаем уравнение (5.36) графически. На рис. 55 представлены

график-функции tg р в интервале —-j < р < и прямая у= а]_а Р- Точки пересеченияэтой прямой с графиком функции tg р определяют корни уравнения (5.36). Одной из точек пересечения всегда является начало координат. Это дает результат р^=0, то есть соответствует действительному корню (если таковой существует). Комплексные корни определены точками пересечения, в которых р=£0. Наличие таких точек пересечения зависит от наклона прямой, равного а]_а • Наклон кривой, образующей график функции tg р, есть = 1 + tg2p и является минимальным в точке

О, где он равняется 1. Чтобы прямая пересекала кривую tg р в других точках, ее наклон должен превышать этот минимум, то есть должно быть———> 1.

Тогда прямая пересекает, график функции tgp в двух симметричных точках R и S, соответствующих сопряженным корням а + /р и а —/р. Если же •< Ь

то прямая пересекает кривую только в точке 0 и комплексные корни отсутствуют.

Таким образом, услбвие существования комплексных корней есть -jzT" ^ ' или а — 1<а<а- Отсюда

можно сделать интересные выводы. Если а> 1, то а>0, комплексные корни имеют положительную действительную часть, и налицо возрастающие колебания. Если а< 1, то а может (но не обязательно) быть отрицательной или нулевой величиной; в этом случае колебания будут либо затухать, либо иметь постоянную амплитуду.

При этом существует известная зависимость между значениями а, которые определяют изменения амплитуды колебаний, и значениями р, которые определяют частоту (или период) колебаний. Как видно из рис. 55, значение р, которое задается точкой пересечения R, находится в открытом интервале (о, yj и является тем большим, чем больше коэффициент наклона пря- мой » т0 есть чем меньше разность а — а. Отсюда

2 п

следует, что период колебаний, который равен Т = не может быть короче 4 единиц времени (за единицу

времени мы приняли 0 — запаздывание между производством инвестиционных благ и принятием инвестиционного решения). Период Т тем продолжительнее, чем меньше значение а. Принимая а=0 (то есть случай колебаний с постоянной амплитудой) за критерий разграничения, получаем некоторые критические значения ро и Т0. Тогда в случае а>0 (возрастающих колебаний) р>р0 и Т<Т0у в случае же оь<0 (затухающих колебаний) р<р0 и Т>Т0. Следовательно, колебания, период которых продолжительнее критического перио да Т0, затухают, удерживаются только колебания с периодом

Уравнение (5.36) имеет также корни вне интер-

вала (—которые уже рассматривались. Если

это уравнение удовлетворяется в указанном интервале при некотором значении р, то оно удовлетворяется также и при значении р±&я (где k==l% 2, ...), находящемся вне этого интервала. Это вытекает из свойства tg (p±fcrt) =tg р. Следовательно, кроме корня р, существуют также корни |$±я, р±2я, ... Этим корням соответствуют дополнительные колебательные состав: ляющие в решении уравнения реакции системы. Однако колебания, связанные с этими корнями, имеют

короткий период. Как мы видели, в интервале

корни выступают в виде пары р и —1$, соответ

ствующей точкам пересечения R и S на рис. 55, причем р>0. Отсюда р+я>я, рН-2я>2я, р+3я>3я и т. д., а соответствующие периоды колебаний удовлетворяют неравенствам Г<2, Г<1, Г<2/з и т. д.

Как видим, периоды колебаний (кроме одного) меньше единицы времени, за которую мы приняли период запаздывания между инвестиционным решением и производством инвестиционных благ. Такие колебания не могут, быть выявлены при измерении времени периодами 0, поэтому эти колебания можно не учитывать. Колебания с периодом Т<2 имеют некоторые шансы на выявлений; поскольку р < , их

период равен 4/з<Г<2. Однако из представленной выше зависимости между периодом колебаний и значением а следует, что если период их близок 2 единицам времени, то значение а весьма невелико (а<0), то есть колебания сильно подавлены; если же они не подавляются, то их период близок к нижнему пределу 4/з, то есть незначительно превышает единицу времени. Следовательно, эти колебания в конечном счете не имеют большого практического значения. Практи- чески заслуживают внимания лишь те колебания, ко

ТОрые соответствуют корню р В интервале

как мы уже видели, они имеют период, превышающий 4 единицы времени.

Таким образом, анализ корней характеристического уравнения (5.33) дает основания для следующих выводов К Модель Калецкого устойчива только в том случае, если а< 1. В Случае же, когда колеба

ния, ^фигурирующие в решении уравнения реакции системы, возрастают; если же существуют не подверженные колебаниям элементы (соответствующие действительным корням), то они представляют собой неограниченно возрастающий тренд (если я>1) или постоянную (а=1). Тогда система неустойчива. Условие а< 1 является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Правда, в таком случае действительные корни (если они существуют) отрицательны, так что с течением времени не подверженные колебаниям элементы решения исчезают, но может иметь место а>0, то есть возможны колебания с постоянной или возрастающей амплитудой. Однако такие колебания имеют относительно короткий период:

4 <Г<Г0.

Устойчивость модели Калецкого и характер отражаемых ею колебательных процессов зависят от значения коэффициентов а и Ь в уравнении реакции системы. Коэффициент а выражает реакцию («чувствительность») инвестиционных решений на накопление (валовые сбережения), которые в некоторых условиях (когда накопляют только капиталисты) совпадают с непотребленной частью валовой прибыли капиталистов. Как видим, необходимым (но не достаточным) условием устойчивости является а<1, объем инвестиционных решений должен быть меньше валового накопления. Коэффициент Ъ выражает реакцию («чувствительность») инвестиционных решений на запасы наличного основного капитала. Значение этого коэффициента таково. Если а + Ь<еа~\ то (при а< 1) существуют два отрицательных действительных корня, не подверженный колебаниям элемент решения уравнения реакции системы с течением времени стремится к нулю, или же колебания накладываются на понижающийся тренд. Тогда K(t) =КоЄХі-+0> иначе говоря, запасы наличного основного капитала сокращаются, система не может обеспечить даже простого воспроизводства.

Дело в том, что объем инвестиционных решений меньше объема накоплений; при отсутствии достаточных компенсирующих факторов это ведет к неполному воспроизводству. Преодолеть подобное явление можно следующим образо^: необходимо, чтобы a + b^ea~\ или же Ь^еа-Х — а, то есть коэффициент реакции инвестиционных решений на запас наличного основного капитала должен быть достаточно велик. Тогда тенденция к неполному воспроизводству, вытекающая из а< 1, наталкивается на противодействие, состоящее в том, что связанное с этой тенденцией уменьшение запаса наличного основного капитала вызывает увеличение объема инвестиционных решений и препятствует указанной тенденции. В такой ситуации либо существует один действительный корень (если Ь~еа-і — а), либо (если Ь>еа~х — а) действительных корней не существует. В первом случае суще- - ствует постоянный (не изменяющийся во времени) и не подверженный колебаниям элемент решения, на который накладываются колебания, во втором случае существует только колебательный элемент решения, причем среднее значение колебательного процесса равняется нулю. В обоих этих случаях осуществляется простое воспроизводство на некотором определенном уровне.

Как видим, в модели Калецкого невозможна ситуация, в которой бы существовал повышающийся тренд (положительные действительные корни) без возрастающих колебаний. Повышающийся тренд требует неравенства а> 1 (то есть чтобы объем инвестиционных решений превышал валовое накопление), но при этом возрастают и колебания (ибо а>0). Повышающийся тренд, или расширенное воспроизводство основного капитала, окупается неустойчивостью системы. Устойчивость же системы окупается неполным или, самое большее, простым воспроизводством. Такова, согласно модели Калецкого, основная дилемма капиталистической системы: рост и неустойчивость либо устойчивость и застой, а то и движение вспять.

На основе статистических данных Калецкий провел пробную оценку значений коэффициентов а и Ь. Он определил, что а=0,95 и 6=0,12. Отсюда а + 6 = = 1,07>1. В то же время еа~х = е0*=0,95< 1. В итоге a+b>ea~1J то есть характеристическое уравнение не имеет действительных корней. Комплексные корни

a + ip и a—ір удовлетворяют уравнению tg р = ^ ^

Для а=0 определяем критическое значение р0 и из уравнения -^jp =0^5 приближенно находим р0 = 0,38,

откуда 7*0 = -|^==8,25. Калецкий находит также, что

запаздывание 0 составляет от полугода до года; поэтому если возникают колебания с постоянной амплитудой, то их период составляет примерно от 4 до 8 лет; колебания же с более продолжительной амплитудой подавляются. При допущении 0 = 1 году колебания с постоянной амплитудой соответствовали бы в приближении циклу конъюнктуры в 8 лет, при допущении 0 = i/2 цикл конъюнктуры продолжительностью в 8 лет подавлялся бы. Следовательно, при перечисленных свойствах коэффициентов а и Ь и запаздывания 0 модель Калецкого описывает процесс простого воспроизводства, которому сопутствуют колебания либо с постоянной амплитудой, либо подавляемые колебания, соответствующие эмпирически установленному циклу хозяйственной конъюнктуры.

Как видим, в модели Калецкого невозможно расширенное воспроизводство при одновременном сохранении устойчивости системы, воспроизводство же в устойчивой системе является простым или неполным. Это связано с тем, что в уравнении реакции системы (5.33) принято «питание» х(^)=0 в правой части уравнения. Вместо этого в правой части уравнения можно ввести положительное «питание»x(t) =A(t)>0, выражающее независимые капиталовложения (то есть инвестиции, не зависящие от рентабельности). Они могут быть связаны с техническим прогрессом, который вызывает инвестиции, основывающиеся не на непосредственном, краткосрочном расчете рентабельности, а на перспективной политике расширения предприятий. Это могут быть также социальные инвестиции, связанные с будущей политикой государства (в области вооружений, занятости и экономического

роста). Тогда в решения типа у = 2АГу(0)Х^входит

161

11 о. Ланге

«питающий» элемент y=[(D — a)eD+a + b]-lA(t). Таким образом, общее решение уравнения реакции

системы принимает следующий вид:

К {t) = 2 К j (0) еЧ + \(0-а)е° + а + Ь]~ A (t).

j

В этом решении источником расширенного воспроизводства является питающий элемент решения, тогда как собственный элемент (являющийся результатом «собственных признаков» системы) обеспечивает только неполное, самое большее — простое воспроизводство вещественного капитала (разве что система нестабильна и собственный^ элемент выражает как расширенное воспроизводство, так и возрастающие колебания).

Представленный подход отличается тем, что рост капиталистической экономики (расширенное воспроизводство) выступает как экзогенный фактор, являющийся результатом «питания» процесса воспроизводства «извне» через независимые (автономные) капиталовложения. Чтобы описать расширенное воспроизводство как результат не внешнего питания системы, а «собственных признаков» капиталистического воспроизводства, в модель Калецкого необходимо внести определенные изменения